精品课程《数学分析》课外训练方案 g(I t a-v av 2 a21 arr.8( 注1在求时,要特别注意一的函数关系仍然是 注2在求C时,注意正确使用导数符号g(-f),不要写成__,也不要写成 O 或。事实上, g(t--) a2v 注3上面的证明简洁清楚,所要求证的微分方程的左边是2+ ,函数V作为自 变量xy,的函数,是由中间变量r=√x2+y2+2复合而成,利用 2+0+② a-r arar 2 我们得到了 av a2y a2v a2y av 2 这样把求ν对自变量x,y,z的偏导数转化为对中间变量r的偏导数,从而使计算简单了。试 a-y ay av 比较直接求2+ 的情形 2g( g(t 3x ar 少g g(t g(t--) C Cr30r8(- g(t--) 2r2 ax lg(t lg(t--)- r精品课程《数学分析》课外训练方案 ( ) 1 c r g t t r v = ′ − ∂ ∂ ， ( ) 1 2 2 c r g t t r v = ′′ − ∂ ∂ 故 r r v r v 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) 1 2 c r g t c r = ′′ − 2 2 2 1 t v c ∂ ∂ = 。 注 1 在求 2 2 x v ∂ ∂ 时，要特别注意 r v ∂ ∂ 的函数关系仍然是 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ t z y x r r v 注 2 在求 r v ∂ ∂ 时，注意正确使用导数符号 ( ) c r g′ t − ，不要写成 g v ∂ ∂ ( ) c r t g ∂ − ∂ ，也不要写成 ( ) c r t g ∂ − ∂ 或 r g ∂ ∂ 。事实上， = ∂ ∂ r g ( ) 1 c r g t c ′ − − 。 注 3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是 2 2 2 2 2 2 z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ，函数 作为自 变量 v x, y,z 的函数，是由中间变量 2 2 2 r = x + y + z 复合而成，利用 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z r y r x r ， z r r y r x r 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 我们得到了 2 2 2 2 2 2 z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r v r v 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = 。 这样把求v 对自变量 x, y,z 的偏导数转化为对中间变量 r 的偏导数，从而使计算简单了。试 比较直接求 2 2 2 2 2 2 z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 的情形。 x r c r g t x cr r c r g t x r v ∂ ∂ − ′ − ∂ ∂ − − = ∂ ∂ ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) 3 2 c r g t cr x c r g t r x − − ′ − − = ( ) ( ) 3 ( ) 1 2 3 4 3 2 c r g t x r cr x c r g t x r r x c r g t x r v ′ − ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + − = ∂ ∂ ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 3 2 2 c r g t x r c r x c r g t x r cr x c r g t cr ′′ − ∂ ∂ ′ − + ∂ ∂ − ′ − + ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r x r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r x c r g t cr x cr + − + ′ − + ′′ − 6