精品课程《数学分析》课外训练方案 由x,y,z的对称性得 13 3y2 - g(t 1g(--)+[-2+=4lg(--)+ a-v av 1 则ax2oy c38V-5)=13y 例2设u(x,y)的所有二阶偏导数都连续 a2u a2u 2=0,(x,2x)=x,2(x,2x)=x 试求x2(x,2x),ln(x,2x),ll(x,2x)。 证注意1(x,2x)= a =1(x,2x),是u(x,y)对x求偏导数之后,令y=2x所得的 函数,而不是u(x,2x)作为x的一元函数对x的导函数。 在l(x,2x)=x两边对x求导,得 l1(x,2x)+22(x,2x)=1 将l1(x,2x)=x2代入,得 上式两边对x求导,得 l21(x,2x)+2u2(x,2x)=-x 在(x,2x)=x2两边对x求导,得1(x,2x)+2u12(x,2x)=2x 因为l(x,y)有连续的二阶偏导数,则a12(x,2x)=l21(x,2x),又已知l1(x,2x)-l2(x,2x)=0, 将上两式联立解得 12(x2x)=2(x,2x)=x,1(x2x)=l2(x,2)=、早 u(x, 2x)=u(x, 2x)=x, lx(x,2x)=l1(x,2)、4 例3若函数f(x,y,2)对任意正实数t满足关系f(x,,)=t"∫(x,y,),则称f(x,y,z) 为n次奇次函数。设∫(x,y,z)可微,试证明∫(x,y,z)为n次齐次函数的充要条件是 a+,a+:a =nf(x,y,=) 7精品课程《数学分析》课外训练方案 由 x, y,z 的对称性得 2 2 y v ∂ ∂ ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r y r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r y c r g t cr y cr + − + ′ − + ′′ − 2 2 z v ∂ ∂ ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r z r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r z c r g t cr z cr + − + ′ − + ′′ − 则 2 2 2 2 2 2 z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) 1 2 c r g t c r = ′′ − 2 2 2 1 t v c ∂ ∂ = 。 例 2 设u(x, y) 的所有二阶偏导数都连续， 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ y u x u ， u(x,2x) = x ， 2 u (x,2x) x x = 试求uxx (x,2x)，uxy (x,2x) ，uyy (x,2x) 。 证 注意 | 2 ( ,2 ) y x x x u u x x = ∂ ∂ = ( ,2 ) 1 = u x x ，是 对 求偏导数之后，令 所得的 函数，而不是 作为 的一元函数对 的导函数。 u(x, y) x y = 2x u(x,2x) x x 在 u(x,2x) = x 两边对 x 求导，得 ( ,2 ) 2 ( ,2 ) 1 u1 x x + u2 x x = 将 代入，得 2 1 u (x,2x) = x 2 2u2 (x,2x) = 1− x 上式两边对 x 求导，得 u (x,2x) + 2u (x,2x) = −x 21 22 在 两边对 求导，得 2 1 u (x,2x) = x x u (x,2x) 2u (x,2x) 2x 11 + 12 = 因为u(x, y) 有连续的二阶偏导数，则 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 21 u x x = u x x ，又已知 ( ,2 ) ( ,2 ) 0 u11 x x − u22 x x = ， 将上两式联立解得 u x x u x x x 3 5 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 = 21 = ， u x x u x x x 3 4 ( ,2 ) ( ,2 ) 11 = 22 = − 。 即 u x x u x x x xy yx 3 5 ( ,2 ) = ( ,2 ) = ， u x x u x x x xx yy 3 4 ( ,2 ) = ( ,2 ) = − 。 例 3 若函数 对任意正实数t 满足关系 ，则称 为 次奇次函数。设 可微，试证明 为 次齐次函数的充要条件是 f (x, y,z) f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = f (x, y,z) n f (x, y,z) f (x, y,z) n nf (x, y,z) z f z y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 7