精品课程《数学分析》课外训练方案 f(tr, ty, t) )=(x,0)+yf(xy)+子(x,9,)-nf(x=0 故G(m)与t无关,从而G(t)=G(1)=f(x,y,),即 f(ax, ty, t)=t"f(x,y, 3) "→"方程∫(x,,)=tf(x,y,z)两边分别对x,y,z,t求导,得 y,(Er, ty, t)=t'f(x,y,=) v2(x,y)=1"f,(x,y,2), J3(x,0,)=t"∫2(x,y,=), x+yf2+/5=m(x,y,2), 将前面三式代入第四式即得 +,+f nf(x,y, =) 或在上面四式中令t=1,得 f=fx,f2=f,f3=J2,+y2+/3=nf(x,y,=) +,y+9 nf(x,y,=) 例4设l= x+yv= x-y ze,变换方程 (假设出现的导数都连续)。 解这里既有自变量的变换∥≈x+y,22,也有函数的变换=ze。自变量由原 y 来的x,y变换为u,v,函数由原来的z变换为W。为了把原来的函数z(x,y)变换为函数 =v(u,v),可以把原来的函数z(x,y)视为如下的复合 x+y精品课程《数学分析》课外训练方案 证 "⇐" 令 n t f tx ty tz G t ( , , ) ( ) = ，则 0 [ ( , , ) ( , , ) ( , , )] ( , , ) ( ) 1 1 2 3 = + + − ′ = n+ t xf tx ty tz yf tx ty tz zf tx ty tz t nf tx ty tz G t ， 故G(t) 与t 无关，从而G(t) = G(1) = f (x, y,z) ，即 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = "⇒" 方程 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) 两边分别对 n = x, y,z,t 求导，得 tf1 (tx,ty,tz) = t n f x (x, y,z) ， ( , , ) ( , , ) 2 tf tx ty tz t f x y z y n = ， ( , , ) ( , , ) 3 tf tx ty tz t f x y z z n = ， xf1 + yf 2 + zf 3 = nt n−1 f (x, y,z) ， 将前面三式代入第四式即得 nf (x, y,z) z f z y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 或在上面四式中令t = 1，得 x f = f 1 ， f 2 = f y ， z f = f 3 ， ( , , ) 1 2 3 xf + yf + zf = nf x y z 即 nf (x, y,z) z f z y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 例 4 设 2 x y u + = ， 2 x y v − = ， w = ze y ，变换方程 z x z x y z x z = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 （假设出现的导数都连续）。 解 这里既有自变量的变换 2 x y u + = ， 2 x y v − = ，也有函数的变换 。自变量由原 来的 y w = ze x, y 变换为 ，函数由原来的 变换为 。为了把原来的函数 变换为函数 ，可以把原来的函数 视为如下的复合 u, v z w z(x, y) w = w(u, v) z(x, y) z = we − y ， w = w(u, v) ， 2 x y u + = ， 2 x y v − = 8