精品课程《数学分析》课外训练方案 l 则 au ax ay ax 2 c1.a-w au a-wa ax auay axax 0y 2 ax 4 au2 a a=1.a-w au a-w au av a-w av. 1 Oxo 102va2w.1 waw 故 +==e ax away ax out aw a21 21 例5设F(x+=,y+)=0,求d2=,=x,=y,n 证方程F(x+z,y+)=0确定了函数(x,y),在方程两边求微分,得 (dx +d=F+(dy+d)F,=0 dz (Fdx Fdy F1+F2 两边再求微分,得Fd2+[(a+dF1+(dy+d)F12l(ax+dz) +F2d2z+[x+d)F21+(d+d)F2](d+d)=0 解得d [F1ax2+F2dy2+(F1+2F12+F2) +2Frdxdy+ 2((F2+ F2 )dy+(Fu+ F2udx]de (Fdx+ Fdy) F1+F2 [Fudx+Fody +(F+2F精品课程《数学分析》课外训练方案 即 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ y y x v y x u w z 则 [ ] 2 1 [ ] v w u w e x v v w x u u w e x z y y ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − − [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x v v w x v x u u v w x u u w e x z y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − [ 2 ] 4 1 2 2 2 2 2 v w u v w u w e y ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 y v v w y v y u u v w y u u w e x y z y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ − [ ] 2 1 v w u w e y ∂ ∂ + ∂ ∂ − − [ ] 4 1 2 2 2 2 v w u w e y ∂ ∂ − ∂ ∂ = − [ ] 2 1 v w u w e y ∂ ∂ + ∂ ∂ − − 故 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ x z x y z x z 2 2 2 z u v w u w e y = ∂ ∂ ∂ + ∂ − ∂ [ ] 2 1 2 2 2 即 w u v w u w 2 2 2 2 = ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 例 5 设 F(x + z, y + z) = 0 ，求 d z,z xx ,z xy ,z yy 。 2 证 方程 F(x + z, y + z) = 0 确定了函数 z(x, y)，在方程两边求微分，得 ( ) ( ) 0 dx + dz F1 + dy + dz F2 = ⇒ ( ) 1 1 2 1 2 F dx F dy F F dz + + − = 两边再求微分，得 F d z + 2 1 [( ) ( ) ]( ) 11 12 dx + dz F + dy + dz F dx + dz + F d z + 2 2 [( ) ( ) ]( ) 0 dx + dz F21 + dy + dz F22 dy + dz = 解得 2 11 12 22 2 22 2 11 1 2 2 [ ( 2 ) 1 F dx F dy F F F dz F F d z + + + + + − = 2F dxdy 2[(F F )dy (F F )dx]dz + 12 + 12 + 22 + 11 + 21 [ ( 2 ) 1 11 12 22 2 22 2 11 1 2 F dx F dy F F F F F + + + + + − = 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) F F F dx F dy + + 9