第五节函数的微分 教学目的：理解微分在近似计算中的应用的基本思想；掌握常用的几个近似计算公式及证明 方法：会计算函数在某点的近似值 教学重点：微分的定义：可导与可微的联系：微分形式的不变性：复合函数的微分，微分在近 似计算中的应用 教学难点：微分形式的不变性：复合函数的微分：公式△y≈△x很小时)的理解几个常用的 近似公式 教学内容 一、徽分的定义 引例函数增量的计算及增量的构成 一、微分的定义 计算函数增量△y=f(x。+△x)-f(x。)是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算 是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影 响，其边长由x变到x。+△x(图2-1)，问此满片的面积改变 了多少？ 设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x的函数：A=x2 薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量。 自x。取得增量△x时，函数A相应的增量△A,即 图2-】 △4=(x。+△x2-x6=2x△x+(△x2。 从上式可以看出，△4分成两部分，第一部分2x△4是△4的线性函数，即图中带有斜 线的两个矩形面积之和，而第二部分（△x}在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当 △r→0时，第二部分（△x)是比△x高阶的无穷小，即（△x)=0(△x)。由此可见，如果边 长改变很微小，即△刘很小时，面积的改变量△4可近似地用第一部分来代替。 一般地，如果函数y=f(x)满足一定条件，则函数的增量△y可表示为 △y=A△r+0△x, 其中A是不依赖于△x的常数，因此A△x是△x的线性函数，且它与△y之差 Ay-A△x=0△x), 第五节 函数的微分 教学目的：理解微分在近似计算中的应用的基本思想; 掌握常用的几个近似计算公式及证明 方法；会计算函数在某点的近似值. 教学重点：微分的定义；可导与可微的联系;微分形式的不变性;复合函数的微分; 微分在近 似计算中的应用. 教学难点：微分形式的不变性;复合函数的微分;公式 y  dy(x很小时) 的理解几个常用的 近似公式 教学内容： 一、微分的定义 引例 函数增量的计算及增量的构成 一、微分的定义 计算函数增量 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算 是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影 响，其边长由 0 x 变到 x + x 0 （图 2-1），问此薄片的面积改变 了多少？ 设此薄片的边长为 x ，面积为 A ，则 A 是 x 的函数： 2 A = x 。 薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量 x 自 0 x 取得增量 x 时，函数 A 相应的增量 A ，即 ( ) ( ) 2 0 2 0 2 A = x0 + x − x = 2x x + x 。 从上式可以看出， A 分成两部分，第一部分 2x0A 是 A 的线性函数，即图中带有斜 线的两个矩形面积之和，而第二部分 ( ) 2 x 在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当 x →0 时，第二部分 ( ) 2 x 是比 x 高阶的无穷小，即 (x) = 0(x) 2 。由此可见，如果边 长改变很微小，即 x 很小时，面积的改变量 A 可近似地用第一部分来代替。 一般地，如果函数 y = f (x) 满足一定条件，则函数的增量 y 可表示为 y = Ax + 0(x)， 其中 A 是不依赖于 x 的常数，因此 Ax 是 x 的线性函数，且它与 y 之差 y − Ax = 0(x)， 图 2-1