是比△x高阶的无穷小。所以，当A≠0，且△很小时，我们就可近似地用A△x来代替△y 定义设函数与x)在某区间内有定义，和及和+4x在这区间内，如果函数的增量 Ay=x0+△)-物) 可表示为 Av=AAx+oAx). 其中A是不依赖于Ax的常数，那么称函数片x)在点和是可微的，而△x叫做函数)x)在 点m相应于自变量增量Ax的微分，记作少，即 小y=A△x 函数可徽的条件：函数)在点和可微的充分必要条件是函数x)在点和可导，且当函 数x)在点和可微时，其微分一定是 c=(a)Ar 证明：设函数x)在点可微，则按定义有 A=A△r+o△， 上式两边除以△x,得 是智 于是，当△x0时，由上式就得到 40=/) 因此，如果函数x)在点和可微，则x)在点和也一定可导，且A=矿（知. 反之，如果x在点0可导，即 兴=fw 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 a. 其中a→0（当△r→0），且A=物)是常数，ar=o(△x).由此又有 △1=AAr+0△x), 所以x)在点0也是可导的. 简要证明：一方面 别一方面 (-()ta-Ay-f(oM 以微分少近似代替函数增量△y的合理性： 当m)0时，有 =等n色盖 Ay=dy+o(dy).是比 x 高阶的无穷小。所以，当 A  0 ，且 x 很小时，我们就可近似地用 Ax 来代替 y 。 定义 设函数 y=f(x)在某区间内有定义 x0 及 x0+x 在这区间内 如果函数的增量 y =f(x0+x)−f(x0) 可表示为 y=Ax+o(x) 其中 A 是不依赖于x 的常数 那么称函数 y=f(x)在点 x0 是可微的 而 Ax 叫做函数 y=f(x)在 点 x0 相应于自变量增量x 的微分 记作 dy 即 dy =A x 函数可微的条件 函数 f(x)在点 x0 可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x0 可导 且当函 数 f(x)在点 x0 可微时 其微分一定是 dy=f (x0)x 证明 设函数 f(x)在点 x0 可微 则按定义有 y=Ax+o(x) 上式两边除以x 得 x o x A x y   = +   ( )  于是 当x→0 时 由上式就得到 lim ( ) 0 0 f x x y A x =    =  →  因此 如果函数 f(x)在点 x0 可微 则 f(x)在点 x0 也一定可导 且 A=f (x0) 反之 如果 f(x)在点 x0 可导 即 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → 存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成 =  +   ( )0 f x x y  其中→0(当x→0) 且 A=f(x0)是常数 x =o(x) 由此又有 y =f (x0)x+x  因且 f (x0)不依赖于x 故上式相当于 y=Ax+o(x) 所以 f(x)在点 x0 也是可导的 简要证明 一方面 f x A x y x o x A x y y A x o x x =  =      = +    =  +    → lim ( ) ( ) ( ) 0 0  别一方面 f x y f x x x x y f x x y x =  +  =   +    =      → lim ( 0 ) ( 0 )  ( 0 )  0  以微分 dy 近似代替函数增量 y 的合理性 当 f (x0)0 时 有 lim 1 ( ) 1 ( ) lim lim 0 0 0 0 0 =   =    =   →  →  → dx y f x x f x y dy y x x x  y=dy+o(d y)