结论：在f《)0的条件下，以微分d=f()Ar近似代替增量△=x△x)时，其误 差为o(d).因此，在A时很小时，有近似等式 Ay=d 函数=x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作d山或d),即 =f'x)△r, 例如deosx=(cos x)'"△r=-sinx△r;d'=(ey△=eAx. 函数 d小=(2y=1Ar=2 函数=2在=3处的微分为 d小=(x)=3△=6△r 例2.求函数=x当=2，△r=0.02时的微分. 解：先求函数在任意点x的微分 d=(xyAr=3r。 再求函数当=2，△x=0.02时的微分 d小1-2A002=3r2|2A0m=3x22×0.02=0.24 自变量的微分： 为当)与x时，小==(xy△=Ar,所以通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分，记 作，即 于是函数=x)的微分又可记作 d小=f'(x)d. 从而有 杂-. 这就是说，函数的微分d与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做微 二、微分的几何意义 当△y是曲线)上的点的纵坐标的增量时，山就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量 当△很小时，A一d比A小得多.因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线 三、基本初等函数的徽分公式与徽分运算法则 从函数的微分的表达式 dv=f'(xdx 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分.因此，可得如 果下的微分公式和微分运算法则 1.基本初等函数的微分公式 导数公式： 微分公式： (=4x d(x)=uxldx (sin x)'=cos x d(sinx)=cosxdx = sin d(cosx) -sin (tan x)'=sec d(tan x)=sec2 (cotx)'=-csc2x d(cotx)=-cscx dx (sec x)'=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x dx (csc x)'=-csc x cot d(csc x)=-csc x cotx dx (a'y=a'Ina d(a')片a'Inadx 结论 在 f (x0)0 的条件下 以微分 dy=f (x0)x 近似代替增量y=f(x0+x)−f(x0)时 其误 差为 o(dy) 因此 在|x|很小时 有近似等式 y  dy  函数 y=f(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 d f(x) 即 dy=f (x)x  例如 d cos x =(cos x)x =−sin x x  dex =(e x )x=e xx  例 1 求函数 y=x 2 在 x=1 和 x=3 处的微分 解 函数 y=x 2 在 x=1 处的微分为 dy=(x 2 )|x=1x=2x 函数 y=x 2 在 x=3 处的微分为 dy=(x 2 )|x=3x=6x  例 2．求函数 y=x 3 当 x=2 x =0. 02 时的微分 解 先求函数在任意点 x 的微分 dy=(x 3 )x=3x 2x  再求函数当 x=2 x=0. 02 时的微分 dy|x=2 x=0.02 =3x 2 | x=2, x=0.02 =32 20.02=0.24 自变量的微分 因为当 y=x 时 dy=dx=(x)x=x 所以通常把自变量 x 的增量x 称为自变量的微分 记 作 dx 即 dx=x 于是函数 y=f(x)的微分又可记作 dy=f (x)dx 从而有 f (x) dx dy =   这就是说 函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数 因此 导数也叫做“微 商” 二、微分的几何意义 当y 是曲线 y=f(x)上的点的纵坐标的增量时 dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量 当|x|很小时 |y−dy|比|x|小得多 因此在点 M 的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线 段 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 dy =f (x)dx 可以看出 要计算函数的微分 只要计算函数的导数 再乘以自变量的微分 因此 可得如 果下的微分公式和微分运算法则 1 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式 (x  )= x −1 d (x  )= x −1d x (sin x)=cos x d (sin x)=cos x d x (cos x)=−sin x d (cos x)=−sin x d x (tan x)=sec 2 x d (tan x)=sec 2 x d x (cot x)=−csc 2 x d (cot x)=−csc 2 x d x (sec x)=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x d x (csc x)=−csc x cot x d (csc x)=−csc x cot x d x (a x )=a x ln a d (a x )=a x ln a d x