(e')=er d(e=edx dmx)=上d (arcsinx) d(aresinx) （arctanx)=1+交 1 1 d(arctan) (arccotx)=-+ d(arccoix)= 2.函数和、差、积、商的徽分法则 求导法则： 微分法则 (士v'=± dtv=d士dN dCu)=-Cdi恤 肖=e0 d的=d迹d0) 2 证明乘积的微分法则： 根据函数微分的表达式，有 再根据乘积的求导法则，有 (w)'=+W 于是dMP=(d+wdk=1d在+d在 由于dd,vd=d 所以d成m=d 3.复合函数的微分法则 设=)及=x)都可导，则复合函数=1]的微分为 d小=yxd=f"(uo(xdk. 于由(x)=d仙，所以，复合函数=几x)训的微分公式也可以写成 小=f(ud或与y.da 由此可见，无论“是自变量还是另 一个变量的可微函数，微分形式小'(u)保持不变.这 性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时，微分形式=∫"(u)d并不改变 例3.=sin(2x+1),求d. 解：把2+1看成中间变量弘则 =d(sin sudu=cos(2x+1)d(2x+1) 02x+2=2c02x+14 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量 例4.y=h(l+e,求y(e x )=e x d (e x )=e x d x x a x a ln 1 (log ) = dx x a d x a ln 1 (log )= x x 1 (ln ) = dx x d x 1 (ln )= 1 2 1 (arcsin ) x x −  = dx x d x 1 2 1 (arcsin ) − = 1 2 1 (arccos ) x x −  =− dx x d x 1 2 1 (arccos ) − =− 1 2 1 (arctan ) x x +  = dx x d x 1 2 1 (arctan ) + = 1 2 1 (arccot ) x x +  =− dx x d x 1 2 1 (arccot ) + =− 2 函数和、差、积、商的微分法则 求导法则 微分法则 (uv)=u v d(uv)=dudv (Cu)=Cu  d(Cu)=Cdu (uv)= uv+uv d(uv)=vdu+udv ( ) ( 0) 2   −   = v v u v uv v u ( ) ( 0) 2  − = dx v v vdu udv v u d 证明乘积的微分法则 根据函数微分的表达式 有 d(uv)=(uv)dx 再根据乘积的求导法则 有 (uv)=uv+uv 于是 d(uv)=(uv+uv)dx=uvdx+uvdx 由于 udx=du vdx=dv 所以 d(uv)=vdu+udv 3 复合函数的微分法则 设 y=f(u)及 u=(x)都可导 则复合函数 y=f[(x)]的微分为 dy=yx dx=f (u)(x)dx 于由(x)dx=du 所以 复合函数 y=f[(x)]的微分公式也可以写成 dy=f (u)du 或 dy=yu du 由此可见 无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数 微分形式 dy=f (u)du 保持不变 这 一性质称为微分形式不变性 这性质表示 当变换自变量时 微分形式 dy=f (u)du 并不改变 例 3．y=sin(2x+1) 求 dy 解 把 2x+1 看成中间变量 u 则 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)2dx=2cos(2x+1)dx 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例 4 ln(1 ) 2 x y = +e  求 dy