解：=dn(l+e=ted0+e) e冰=e2= 例5.=e-COS,求d水 解：应用积的微分法则，得 =(cos.x)e(-3dx)+e-sin.xdx) -e(3cosx+sin x)d 例6.在括号中填入适当的函数，使等式成立 (1)d )=xdx: (2)M=cos otd山 解：(1)因为dr)=2x,所以 xd=dx2)=dgx2),即dx2)=xd 一般地，有d(兮x2+9=xd迹(C为任意常数). (2)因为d成sino)=wcos w1d,所以 因此 d上sinot+C=cosotd(C为任意常数). 四、微分在近似计算中的应用 1.函数的近似计算 在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式。如果直接用这些公式进行计算，那是 很费力的。利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替， 如果两数)在点x0处的导数∫)0，且A时很小时，我们有 △f"(x)△x, △=(0+Ax）-xo)=d与f(xo)Ax, r-和，那么又有 Ax)=Axo)+f'(xo)(x-xo). 特别当0=0时，有 fx)=A0)+f(0)x. 这些都是近似计算公式. 例L,有一批半径为1m的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0 01cm.估计一了每只球需用铜多少g铜的密度是8.9gcm 解：己知球体体积为V=号R3,R=lcm,△R=0.01cm 镀层的体积为 △Ro+△R)-(R)=V'(Ro)AR=4xRo2R=4x3.14x12x0.01=0.13cm3. 于是镀每只球需用的铜约为 0.13×8.9=l.16(g). 例2.利用微分计算sin30°30的近似值. 解 (1 ) 1 1 ln(1 ) 2 2 2 x x x d e e dy d e + + = + = e xdx e e d x e x x x x 2 1 1 ( ) 1 1 2 2 2 2 2   +  = + = dx e xe x x 2 2 1 2 + =  例 5．y=e 1−3x cos x 求 dy 解 应用积的微分法则 得 dy=d(e 1−3x cos x)=cos xd(e 1−3x )+e 1−3x d(cos x) =(cos x)e 1−3x (−3dx)+e 1−3x (−sin xdx) =−e 1−3x (3cos x+sin x)dx 例 6．在括号中填入适当的函数 使等式成立 (1) d( )=xdx (2) d( )=cos  t dt 解 (1)因为 d(x 2 )=2xdx 所以 ) 2 1 ( ) ( 2 1 2 2 xdx= d x =d x  即 d x )= xdx 2 1 ( 2  一般地 有 d x +C)= xdx 2 1 ( 2 (C 为任意常数) (2)因为 d(sin t)=cos  tdt 所以 sin ) 1 (sin ) ( 1 cos tdt d t d  t     = =  因此 d sin t C) cos tdt 1 (    + = (C 为任意常数) 四、微分在近似计算中的应用 1．函数的近似计算 在工程问题中 经常会遇到一些复杂的计算公式 如果直接用这些公式进行计算 那是 很费力的 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替 如果函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数 f (x)0 且x|很小时 我们有 ydy=f (x0)x y=f(x0+x)−f(x0)dy=f (x0)x f(x0+x)f(x0)+f (x0)x 若令 x=x0+x 即x=x−x0 那么又有 f(x) f(x 0)+f (x0)(x−x0) 特别当 x0=0 时 有 f(x) f(0)+f (0)x 这些都是近似计算公式 例 1．有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁度 要镀上一层铜 厚度定为 0 01cm 估计一了每只球需用铜多少 g(铜的密度是 8. 9g/cm 3 )? 解 已知球体体积为 3 3 4 V = R  R0=1cm R=0. 01cm 镀层的体积为 V=V(R0+R)−V(R0)V (R0)R=4R0 2R=43. 141 2 0. 01=0. 13(cm3 ) 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 8. 9 =1. 16(g) 例 2．利用微分计算 sin 3030的近似值