第66讲定积分应用(1) 243 y=x2+1,于是,过P(x,y)的切线与曲线y=-x2+1及两坐标轴所围图形的面积为 S()=la x2+1)dx=(x2+1)2-2 4r 为求S(x)在0<x<1内的最小值,解方程 S(x)=3(3x+2-2)=4(x-1+)(x+2)=0 p(x y) 得惟解x=1,由S"(x (6x+ 0 知,x- 是S(x)的最小值点,最小值为S(-上)= 图66-12 2(2√3-3).于是,所求曲线y=-x2+1上的点为 例7求介于两椭圆+b×y=1(>b>0)之间图形的面积 解由于图形的对称性,两椭圆的交点在直线y=x和y=-x上,因此所求面积S为 在第一象限中由直线y=x,x轴及椭圆+2=1所围图形面积的8倍 s0, rcos 将 y rsIn 代入b+=1中得该椭圆的极坐标方程=ac0s9+bsm,于是 所求面积为 da de S=8 r2(0)d0=4a2b2 。acos0+bsin20 4b2 6- 8 1+=tang d =tane= 4abarctan b 4abarcta 1+=tan20 小结计算面积时要注意:①应适当选择坐标系,以简化计算,如本例7若采用直角坐 标系计算就麻烦,一般地,曲边梯形宜采用直角坐标系,曲边扇形宜采用极坐标系;②要考 虑图形的对称性,缩小上下限的范围;③根据曲线特点,有时采用参数方程计算较方便,如 例2计算面积,用参数方程比用直角坐标计算简单