第17讲线性空间与线性变换 95 第17讲线性空间与线性变换 线性空间是线性代数中一个最基本的概念,线性代数主要研究有限维线性空间和线性 变换(或映射)的基本性质.随着这门学科的发展,人们发现线性方程组的解的理论(线性 代数早期的研究对象),只不过是有限维线性空间和线性变换(映射)理论的一个具体应用 而已.线性运算是线性空间的本质所在,至于其中的元素具体是什么并不重要,因此,线性 空间的概念更为抽象,高度的抽象性决定了其应用的广泛性,读者应仔细体会 在具体学习过程中,要以向量空间R"作为具体模型,去理解一般线性空问.这里,只要 将一般线性空间的元素比拟为R”空间的n维向量,则R"中的有关线性运算的性质都可以 移植到一般线性空间中去.但必须注意,所定义的线性运算,必须满足线性运算的八条运算 规律, 一、线性空间的概念与性质 例1检验下列集合对指定的加法和数量乘法是否在实数域上构成线性空间 (1)集合R2={(x,y)1x,y∈R,对通常向量的加法与如下定义的数量乘法: (2)集合R"=(a1,a2,…,an)a1∈R'(即a>0)},对如下定义的加法与数量乘 法 (a1,a2,…an)④(b1,b2,…,b)=(a1b,a2b2,…,ab); λO(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,a) (3)集合V为区间[a,b]上所有函数值≥0的实变量函数,即 V=f1f(x)≥0,Yx∈[a,b 对通常的函数加法及数与函数的乘法 (f⊕g)(x)=f(x)+g(x) (aof)(x)= af(x) 解按照线性空间定义,实际上要验证: ①对所定义的加法及数量乘法,要检验对运算的封闭性(若对运算不封闭,则不能构成 线性空间) ②若①满足,则要检验其八条线性运算规律是否成立(若有一条不满足,则不能构成 线性空间) (1)①设(x,y),(x1,y1)∈R2,则 (x,y)+(x1,y1)=(x+x1,y+y1)∈R2, 故所定义的加法对运算封闭 VA∈R,(x,y)∈R2,则AO(x,y)=(Ax,y)∈R2