教学内容 问题的提出 实例正方形金属薄片受热后面积的改变量 (Ar) 设边长由x变到x+△ 正方形面积A △A=(x+△x)2-x2=2x0·Ax+(Ax) (1):Ax的线性函数,且为△的主要部分 (2):Ax的高阶无穷小当很小时可忽略 再例如设函数y=x3在点x处的改变量为Ax时,求函数的改变量△ △y=(x0+△x)3-x3=3x2△x+3x0·(△x)2+(△x)3 当4很小时,(2)是Ax的高阶无穷小o(△x △y≈3x·Ax 问题这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如 何求 微分的定义 定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义,x及x+Ax在这区间内, 如果Ay=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+o(x)成立(其中A是与 △x无关的常数,则称函数y=f(x)在点x可微,并且称A 为函数y=f(x)在点x相应于自变量增量Δx的微分, 记作dm或(x)即小m=4,Ar2 教 学 内 容 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. , 0 0 设边长由x 变到x + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 0 = x x + x (1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2): x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. 再例如, , . 0 3 设函数 y = x 在点x 处的改变量为x时 求函数的改变量y 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 0 = x x + x  x + x 当x很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x), 3 . 2 0 y  x x 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如 何求? 二、微分的定义 定义： ( ), . ( ) , ), ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ( ) , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x x y f x x A x y f x x f x A x o x A y f x x x x x x x x =   =   =    = +  − =   +  = +  记作 = 或 即 = 为函数 在点 相应于自变量增量 的微分 无关的常数 则称函数 在点 可微 并且称 如果 成立 其中 是与 设函数 在某区间内有定义 及 在这区间内 2 0 A = x 0 x 0 x x x 2 (x) x0x x0x (1) (2)