微分d叫做函数增量△y的线性主部(徽分的实质 由定义知 (1)d是自变量的改变量Ax的线性函数 (2)4y-dy=o(△x)是比Ax高阶无穷小 (3)当4≠0时,d与4y是等价无穷小 1(x→>0) (4)A是与△x无关的常数,但与f(x)和x有关 (5)当A很小时,匀y≈d(线性主部 、可微的条件 定理 函数f(x)在点x可微的充要条件是函数f(x)在点x处可导, 且A=f(x0) 证:(1)必要性 f(x)在点x可微,∴Ay=AAx+o(△x) Ay_ 44+0(△x) 则my =A+lim A Ar→0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x) (2)充分性 函数f(x)在点x可导, f(x0),即之=f(x0)+a, 从而△y=f(x)△x+a·(Ax)2(:a→0(△x→>0),) f(x)△x+O(△x) 函数f(x)在点x可微,且f(x)=A ∴可导可微A=f(x0)3 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y −dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y  A x o x   = + ( ) 1 →1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y  dy (线性主部). 三、可微的条件 定理 ( ). ( ) ( ) , 0 0 0 A f x f x x f x x 且 =  函数 在点 可微的充要条件是函数 在点 处可导 证：(1) 必要性 ( ) ,  f x 在点x0可微 y = Ax + o(x), , ( ) x o x A x y   = +    x o x A x y x x   = +    →  → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 0 即函数 f x 在点x 可导 且A = f  x (2) 充分性 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x =      → ( ) , =  0 +   f x x y 即 ( ) ( ), 0 从而y = f  x x +  x （  → 0 (x → 0), ） ( ) ( ), 0 = f  x x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点x0可微 且 f  x0 = A . ( ). 0 可导 可微 A = f  x