ethods of Mathematical Physics(2016. 10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMaaPhys. FDi 、解析延拓 1.定义:设函数f()在区域D内解析,函数f2(=)在区域D2内解析,而在 D与D2的公共区D∩D2内,f(=)=f2(二),则称f2(=)为f()在 D2内的解析延拓;反之,f()为f2(=)在D内的解析延拓。 2.用 Taylor级数进行解析延拓 设f()=∑ D l; 在D内一点,如二=,我们有 nI 再构造f()=∑ 2 显然它的解析区域D2 √ 在D∩D2,由推论2,有f(=)=f2(-),因此它们互为解析延拓 (5)=():∈D,这样f()的定义域就扩大为D∪D 1f2()∈D2 事实上,∑4=1 / 即f()和(只不过是同一个函数,在不同区域的表达式 求出无穷级数的和函数是一种最直截了当的方法 解析延拓并非总能进行。如f(x)=1+∑2,|<1, 它在=1的圆周上处处是奇点。Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 3 二、解析延拓 1．定义：设函数 ( ) 1 f z 在区域 D1 内解析，函数 ( ) 2 f z 在区域 D2 内解析，而在 D1 与 D2 的公共区 D1  D2 内， ( ) ( ) 1 2 f z = f z ，则称 ( ) 2 f z 为 ( ) 1 f z 在 D2 内的解析延拓；反之， ( ) 1 f z 为 ( ) 2 f z 在 D1 内的解析延拓。 2．用 Taylor 级数进行解析延拓 设 1 0 1 ( ) . 1 k k f z z z  = = = −  D1： z 1; 在 D1 内一点，如 2 i z = ，我们有 1 ( ) 1 2 1 ! 2 +       −  =      n n i i n f (n = 0,1,2, .) 再构造 ( ) 1 2 1 0 0 2 1 ( ) . ! 2 2 1 2 n n n n n n i f i i f z z z n i   + = =          = − = −             −     显然它的解析区域 D2： 5 1 . 2 2 2 i i z −  − = 在 D1  D2 ，由推论 2，有 ( ) ( ) 1 2 f z = f z ，因此它们互为解析延拓。      = 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) f z z D f z z D f z ，这样 f (z) 的定义域就扩大为 1 2 D D  . 事实上， 0 1 , 1 k k z z  = = −  z i z n i n n −  =      −       −   = + 1 1 2 2 1 1 0 1 ， 即 ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z 只不过是同一个函数 1− z 1 在不同区域的表达式。 求出无穷级数的和函数是一种最直截了当的方法。 * 解析延拓并非总能进行。如   = = + 1 2 ( ) 1 n n f z z ， z  1， 它在 z = 1 的圆周上处处是奇点