ethods of Mathematical Physics(2016. 10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMaaPhys. FDi 3.用函数关系式进行解析延拓-r函数 r(x)=[erd(x>0),T函数,或称第二类Eer积分 当n=0.1,2,…时,I(n+1)=n!(分部积分可得,高等数学知识) 定义复变量〓的r函数 r()=cr-dt(Re>0),因为被积函数可能是多值的,约定正实轴上 argt=0.可证,I(z)在右半平面是解析的,下面我们进行解析延拓。 因为,I(x+1)=crd==c+xerd=r(x,(x>0) 又因为I(z)在Re>0解析,那么r(x+1)和I()在Rez>0也解析 所以,r(+1)=r()(e=>0),或r()=(=+(e>0) 注意到(三+在Re(+1)>0.(=≠0)是解析的,可定义 r(2)=1(=+D)(1<Re:50.=≠O) 这样,r()就从R二>0解析延拓到Rez>-1(≠0). This is also a rr 类似的,可将其延拓到整个复平面。一般地,定义 r(二+1)(二+n+1) (+以)((n+1)<Re≤-n,=≠0-1…, 这样定义的I()在全平面除z=0,-1-2,…外处处解析,z=0.-1,-2,…是 它的单极点。在整个复平面满足I(z+1)=xI()(z≠0,-1,-2…) r函数的性质 D0)=2)(2)=;3)rm-mnz(≠整数) 4)r(2x)==r()r| 2 4.B函数(第一类 Euler积分) 由B(xy=(-)d(x>0,y>)得 B(p9)=-0-ydr(aep>0Req>0)且约定正实轴上:ag1=0,Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 4 3．用函数关系式进行解析延拓-- 函数   − −   0 1 (x) e t dt t x (x  0),  函数，或称第二类 Euler 积分。 当 n = 0,1,2,  时， (n +1) = n! (分部积分可得，高等数学知识)。 定义复变量 z 的  函数:   − −   0 1 (z) e t dt t z (Re z  0), 因为被积函数可能是多值的，约定正实轴上： arg 0. t = 可证， (z) 在右半平面是解析的，下面我们进行解析延拓。 因为， 1 0 0 0 ( 1) d d ( ), t x t x t x x e t t e t x e t t x x    − − − −  + = = − + =    (x  0) 又因为 (z) 在 Re z  0 解析，那么 (z +1) 和 z(z) 在 Re z  0 也解析。 所以， (z +1) = z(z) (Re z  0)，或 z z z ( 1) ( )  +  = (Re z  0). 注意到 z (z +1) 在 Re( 1) 0,( 0) z z +   是解析的，可定义 z z z ( 1) ( )  +   (−1 Re z  0,z  0). 这样， (z) 就从 Re z  0 解析延拓到 Re z  −1(z  0). This is also a RR. 类似的，可将其延拓到整个复平面。一般地，定义 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) z z z n z n z z z + +  + + =  +    − (n +1)  Re z  −n,z  0,−1,  ,−n. 这样定义的 (z) 在全平面除 z = 0,−1,−2,  外处处解析， z = 0,−1,−2,  是 它的单极点。在整个复平面满足  + =   − − ( 1) ( ) ( 0, 1, 2, ). z z z z  函数的性质： 1). (1) = 1 ; 2).  =        2 1 ; 3). z z z   sin ( )(1− ) = (z  整数) ; 4). 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z  −    =   +     5). 2 . 2 1 2 2 1  = −        = −        − 4． 函数（第一类 Euler 积分） 由 ( )  − −   − 1 0 1 1 (x, y) t 1 t dt x y (x  0, y  0) 得 ( )  − −   − 1 0 1 1 ( p, q) t 1 t dt p q (Re p  0,Re q  0) 且约定正实轴上：arg t = 0