ethods of Mathematical Physics(2016. 10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMaaPl arg(1-1)=0.可以证明B函数与函数的关系[见教材第四章p62式(424) 的证明]:BP)=)r(q) (Re p>0,Req >0) 根据r函数的性质,上式在全平面成立(p≠0,-1-2,…,q≠0,-1-2,…) 2 下面证明r(x)I(1-x)= (0<x<1)&r(2=) r( SIn zx r(x)r(1-x)=e'tdres ds=le-tG-dsdt 非线性变换:5=+1,=(0≤5<∞,0≤7<∞)→=,S 1+n a(s1)_0 +n) a(5, nm)at atn +n) Je"(//en: 1+nl(s, dasdn 75(5,m) =∫exy1+n5 ddn=∫le-n didn (1+m) =e -dn= +n SIn zx 这里分离变量了,最后一步用了教案第五章p23的留数定理。由第二页的推论1 可知,当二≠整数时r()r(1-z) 仍然成立。取z=得r sn元 考察=BC:3)=0-m--2--令=;-√得 r((2=22j(-5)d=24w!r(/2) I(二+1/2) 利用口=√丌即得r(2)=rr(z)z+ Home work: 4.2Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 5 arg 1 0. ( − = t) 可以证明  函数与  函数的关系[见教材第四章 p.62 式(4.24) 的证明]： (p q) p q p q  +    = ( ) ( ) ( , ) (Re p  0,Re q  0). 根据  函数的性质，上式在全平面成立（ p  0,−1,−2,  , q  0,−1,−2,  ）. 下面证明 ( ) (1 ) sin x x x     − = (0 1) &  x 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z  −    =   +     1 ( ) 0 0 0 0 1 ( ) (1 ) d d ( ) d d , t x s x s t x t x x e t t e s s e s t s t     − − − − − +   − = =    非线性变换: , (0 ,0 ) t s t s     = + =       , , 1 1 s t      = = + + 2 2 2 1 , , ( , ) 1 (1 ) , ( , ) (1 ) , , 1 (1 ) s s s t t t                  −    + + = = =  +     + + ( ) 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ( , ) ( ) d d d d ( , ) 1 1 d d d d (1 ) (1 ) d d d . 1 1 sin s t x x x x x x t s t e s t e s t e e e x                                    − + −     − − −    − − − +  =  + = = + + = = = + +        这里分离变量了，最后一步用了教案第五章 p.23 的留数定理。 由第二页的推论 1 可知，当 z  整数 时 z z z   sin ( )(1− ) = 仍然成立。取 2 1 z = 得 . 2 1  =        考察   = = − = −    1/ 2 0 z-1 1 0 z-1 B( , ) [ (1 )] d 2 [ (1 )] d . (2 ) ( ) ( ) z z t t t t t t z z z 令 1 (1 ) 2 t = −  得 . ( 1/ 2) ( ) (1/ 2) ) 2 2 1 2 (1 ) d 2 B( , (2 ) ( ) ( ) 1-2 1-2 1 0 1-2 z-1 -1/2  +   = − = =     z z z z z z z z z    利用  =        2 1 即得 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z  −    =   +     Home work: 4.2