第十二章数项级数 数项级数(1)收敛，称S为数项级数(1)的和，记作 S=u1+u2+…+un+…或S=∑un 若{Sn}是发散数列，则称数项级数(1)发散， 例1讨论等比级数（也称为几何级数） a+ag+ag2+…+aq”+… (3) 的收敛性(a≠0). 解q≠1时，级数(3)的第n个部分和 S=a+ag+…+ag-1=a.1-g 1-q 因此， (i)当q<1时，lim Sn=lima' 1-g=,a.此时级数(3)收敛，其和为 1-q1-9 1-q (i)当|q|>1时，lim S=oo,级数(3)发散. (ii)当q=1时，Sn=na,级数发散.。 当q=-1时，S2k=0,S2k+1=a,k=0,1,2,…,级数发散。 总之，|q|<1时，级数(3)收敛；q≥1时，级数(3)发散. 0 例2讨论数项级数 1 12+2:3+…+n(m++ (4) 的收敛性 解级数(4)的第n个部分和 .=2+23+++ 1 =(1-2)+(分-+…+(0-m+） 1-n+1 由于 照s。=m(1-n十i)=1, 因此级数(4)收敛，且 12+23+…+n(n+D+…=1. 0 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性），是由它的部分和数列{S}来确 4