第十二章 数项级数 §1级数的收敛性 读者已经在初等数学中知道：有限个实数u1,u2,…,un相加，其结果是一 个实数.本章将讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其特征.例如，在第 二章提到〈庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的例中，把每天截下那 一部分的长度“加”起来： +是+员+…++… 这就是“无限个数相加”的一个例子.从直观上可以看到，它的和是1.再如下面 由“无限个数相加”的表达式 1+(-1)+1+(-1)+ 中，如果将它写作 (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…, 其结果无疑是0，如写作 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+…=1+0+0+0+…, 其结果则是1，因此两个结果完全不同.由此提出这样的问题：“无限个数相加” 是否存在“和”；如果存在，“和”等于什么？可见，“无限个数相加”不能简单地引 用有限个数相加的概念，而需建立它本身严格的理论. 定义1给定一个数列{un},对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 u1+u2+…+un+… (1) 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中un称为数项级数(1)的通项， 数项级数(1)也常写作：∑4，或简单写作u 数项级数(1)的前n项之和，记为 Sn=4=41+2+…+, (2) 2= 称它为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和。 定义2若数项级数(1)的部分和数列{Sn}收敛于S(即lim S=S),则称