例31计算esm 分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法。 解由于sind-后sinxde=esn-后@cosxdx =ei-∫ecosxdx, (1) [ecosxdx=∫cosxde=e'cos.x-∫e.(←sinx)d =[e'sinxdx-1, (2) 将(2)式代入(1)式可得 后esn迹=e-esmh-l, 故 e'sinxds=e+D. 例32计算xarcsinxx. 分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法 xaresin ds=aresin(aresind(aresin (1) 令x=sm1,则 高m x -电产-5-异 (2) 将(2)式代入(1)式中得 ∫arcsinxd=g 例33设fx)在0，]上具有二阶连续导数，f"(a)=3且∫[x)+f"(x)]cosxdx=2, 求f"(0). 分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解. 解由于f)+f(x)lcos,.d=f(xdsinx-+cosxdf') =f(x)sinxf(x)sinxd+f(x)cosf(x)sinxde)例 31 计算 2 0 sin x e xdx   ． 分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解 由于 2 0 sin x e xdx   2 0 sin x xde  =  2 2 0 0 [ sin ] cos x x e x e xdx   = −  2 2 0 cos x e e xdx   = −  ， （1） 而 2 0 cos x e xdx   2 0 cos x xde  =  2 2 0 0 [ cos ] ( sin ) x x e x e x dx   = −  −  2 0 sin 1 x e xdx  = −  ， （2） 将（2）式代入（1）式可得 2 0 sin x e xdx   2 2 0 [ sin 1] x e e xdx   = − −  , 故 2 0 sin x e xdx   2 1 ( 1) 2 e  = + ． 例 32 计算 1 0 x xdx arcsin  ． 分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法． 解 1 0 x xdx arcsin  2 1 0 arcsin ( ) 2 x = xd  2 2 1 1 0 0 [ arcsin ] (arcsin ) 2 2 x x =  − x d x  2 1 0 2 1 4 2 1 x dx x  = − −  ． （1） 令 x t = sin ，则 2 1 0 2 1 x dx − x  2 2 0 2 sin sin 1 sin t d t t  = −  2 2 0 sin cos cos t tdt t  =   2 2 0 sin tdt  =  2 0 1 cos2 2 t dt  − = =  2 0 sin 2 [ ] 2 4 t t  − 4  = ． （2） 将（2）式代入（1）式中得 1 0 x xdx arcsin =  8  ． 例 33 设 f x( ) 在 [0, ]  上具有二阶连续导数， f ( ) 3  = 且 0 [ ( ) ( )]cos 2 f x f x xdx  + =   ， 求 f (0)． 分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于 0 [ ( ) ( )]cos f x f x xdx  +   0 0 f x d x xdf x ( ) sin cos ( )   = +     0 0 0 0 { ( )sin ( )sin } {[ ( )cos ] ( )sin } f x x f x xdx f x x f x xdx     = − + +     