=-f'(x)-f"(0)=2. 故f0)=-2-∫"（π）=-2-3=-5 例34(97研)设函数fx)连续， o=uh,且四国=A(4为常数)， 求o(x)并讨论p'(x)在x=0处的连续性 分析求'x)不能直接求，因为f)d中含有(x)的自变量x,需要通过换元将x 从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出(x),最后用函数连续 的定义来判定(x)在x=0处的连续性。 解由与但=4知四=0，而连线，所以0=0,0=0， 当x≠0时，令u=,1=0,u=0:1=1,u=,dh=-d加，则 )-fod 从而 )=)-fud (x≠0) 周吗0与o地四子思0-台所 f(x)-[f(u)du x≠0 (x)= 2 A x=0 由于 画p=g-1w 2 -四-go咖o 从而知x)在x=0处连续. 注这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数 在一点的连续性等知识点的综合题.而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误： (1)直接求出 ))-fud 而没有利用定义去求'(0)，就得到结论p'(0)不存在或p'0)无定义，从而得出(x)在x=0 = − − = f f   ( ) (0) 2  ． 故 f (0) = − − = − − = − 2 ( ) 2 3 5 f   ． 例 34（97 研） 设函数 f x( ) 连续， 1 0 ( ) ( ) x f xt dt =  ，且 0 ( ) lim x f x A → x = （ A 为常数）， 求 ( ) x 并讨论 ( ) x 在 x = 0 处的连续性． 分析 求 ( ) x 不能直接求，因为 1 0 f xt dt ( )  中含有 ( ) x 的自变量 x ，需要通过换元将 x 从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出 ( ) x ，最后用函数连续 的定义来判定 ( ) x 在 x = 0 处的连续性． 解 由 0 ( ) lim x f x A → x = 知 0 lim ( ) 0 x f x → = ，而 f x( ) 连续，所以 f (0) 0 = ，(0) 0 = ． 当 x  0 时，令 u xt = ，t = 0 ，u = 0 ； t = 1，u x = ． 1 dt du x = ，则 0 ( ) ( ) x f u du x x  =  ， 从而 0 2 ( ) ( ) ( ) ( 0) x xf x f u du x x x  −  =   ． 又因为 0 2 0 0 0 ( ) ( ) (0) ( ) lim lim lim 0 2 2 x x x x f u du x f x A x x x   → → → − = = = −  ，即 (0) = 2 A ．所以 ( ) x = 0 2 ( ) ( ) , 0 , 0 2 x xf x f u du x x A x  −      =    ． 由于 0 0 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim lim lim x x x x x x xf x f u du f u du f x x x x x  → → → → −  = = −   = (0) 2 A =  ． 从而知 ( ) x 在 x = 0 处连续． 注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数 在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误： （1）直接求出 0 2 ( ) ( ) ( ) x xf x f u du x x  −  =  ， 而没有利用定义去求 (0) ，就得到结论 (0) 不存在或 (0) 无定义，从而得出 ( ) x 在 x = 0