处不连续的结论， (2)在求m(x)时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致 吗p树=a+-/@-r 又由口国=A用洛必达法则得到四了)=A,出现该错误的原因是由于使用洛必达法则 需要有条件：x)在x=0的邻域内可导.但题设中仅有fx)连续的条件，因此上面出现的 m∫(x)是否存在是不能确定的. 例35(00研)设函数fx)在0，上连续，且 [f(x)dx=0,[f(x)cosxd=0. 试证在(0，)内至少存在两个不同的点气，后使得f()=f(5)=0 分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数F(x)=f)d,找出F(x) 的三个零点，由已知条件易知FO)=F()=0,x=0,x=π为F()的两个零点，第三个 零点的存在性是本题的难点.另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明x)在(0，) 之间存在两个零点. 证法1令Fx)=f)，0sxsπ，则有F0)=0,Fx)=0.又 ∫Dfx)cosxdx=[cosxdF(x)=[cos.xF(x)+F)sinx达 =广Fx)sinxd=0, 由积分中值定理知，必有5∈(0，)，使得 Fy)sinxdx=F(5)sin5·(π-0). 故F(5)sin5=0.又当5∈(0，π，sin5≠0，故必有F(5)=0. 于是在区间0，]，[5，上对F(x)分别应用罗尔定理，知至少存在 使得 F(5)=F'(5)=0,即f5)=f5)=0 证法2由已知条件∫广f(x)本=0及积分中值定理知必有 fx)=fπ-0)=0，∈(0，x) 则有f5)=0. 若在(0，)内，fx)=0仅有一个根x=,由fx)=0知fx)在(0，)与(，x)内处不连续的结论． （2）在求 0 lim ( ) x  x →  时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 lim ( ) lim ( ). x x 2 2 xf x f x f x x f x x  → →  + −   = = 又由 0 ( ) lim x f x A → x = 用洛必达法则得到 0 lim ( ) x f x →  = A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则 需要有条件： f x( ) 在 x = 0 的邻域内可导．但题设中仅有 f x( ) 连续的条件，因此上面出现的 0 lim ( ) x f x →  是否存在是不能确定的． 例 35（00 研） 设函数 f x( ) 在 [0, ]  上连续，且 0 f x dx ( ) 0  =  ， 0 f x xdx ( )cos 0  =  ． 试证在 (0, )  内至少存在两个不同的点 1 2  , 使得 1 2 f f ( ) ( ) 0   = = ． 分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数 0 ( ) ( ) x F x f t dt =  ，找出 F x( ) 的三个零点，由已知条件易知 F F (0) ( ) 0 = =  ， x = 0 ， x =  为 F x( ) 的两个零点，第三个 零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明 f x( ) 在 (0, )  之间存在两个零点． 证法 1 令 0 ( ) ( ) , 0 x F x f t dt x =     ，则有 F F (0) 0, ( ) 0 = =  ．又 0 0 0 0 f x xdx xdF x xF x F x xdx ( )cos cos ( ) [cos ( )] ( )sin     = = +    0 F x xdx ( )sin 0  = =  ， 由积分中值定理知，必有   (0, ) ，使得 0 F x xdx ( )sin   = F( )sin ( 0)    − ． 故 F( )sin 0   = ．又当      (0, ), sin 0 ，故必有 F( ) 0  = ． 于是在区间 [0, ],[ , ]    上对 F x( ) 分别应用罗尔定理，知至少存在 1   (0, ) ， 2    ( , ) ， 使得 1 2 F F   ( ) ( ) 0   = = ，即 1 2 f f ( ) ( ) 0   = = ． 证法 2 由已知条件 0 f x dx ( ) 0  =  及积分中值定理知必有 1 0 f x dx f ( ) ( )( 0) 0  = − =    ， 1   (0, ) ， 则有 1 f ( ) 0  = ． 若在 (0, )  内， f x( ) 0 = 仅有一个根 1 x =  ，由 0 f x dx ( ) 0  =  知 f x( ) 在 1 (0, )  与 1 ( , )   内