Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU y(x)=P2n(x)=∑(-) (4n+2-2k) 2k(2n+1-k)(2n+1-2k) 说明:1.习惯上l的取值为0和正整数,因为当/取负整数时,给出相同的结果: 当-1-1==0,1,2,…时,1(1+1)=(+1)和l给出的结果是相同的 Legendre' s equation具有这种对称性。物理上取l≥0. 2.总之,=0,1,2,…,y=P(x)且P/(1)=1和多项式的最高次幂的系数为 (2l) 1):P(x)构成正交、完备、封闭和归一集:∫P(x)P(x)dx=,,0m(se 1+1/2 hapter 12)封闭:P(x)及其各种运算均属于此 Hillbert空间。 3.本征值问题:泛定Eq+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征 值l=0,1,2…和本征函数P(x) 4.对称性对应守恒量,[,的=0→12=1(1+1)h2,l=0,1,2, Ym(O,q)=l(1+1)h2Ym(O,9),[L2,H=0→L2=m(m=0,土1,+2,…±) LYm(,9)=mhYn(29).Ymn(0,9)=(-1)", (2/+/-m) P"(cosO)em球谐函数 4r(+m)! 例如:Eq:y(x)+k2y(x)=0,条件:y(0)=c0,y(O)=c,众所周知解 y(x)= c cos kx+ -L sin kx.级数解亦如此,不过是级数形式而已:解微分方程 (t)+a2y(1)=0,已知初始(t=0)边界(x=0)条件:y(0)=an,y(0)=a1 [解]设此方程有如下形式的解 y=a0+a,/+a2t+a3l+.+a,t+ (8.1) 逐项微分,有y=a1+2a2t+3a12+…+m+…=∑mn (82) y=2l2+32a+…+n(n-1)a2+…=∑n(n-1)am"2 (83) )(n+1)anMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 0 4 2 2 ! ( ) P ( ) 1 2 ! 2 1 ! 2 1 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k + − + + = + − = = − + − + −  . 说明：1. 习惯上 l 的取值为 0 和正整数，因为当 l 取负整数时，给出相同的结果： 当 − −  = l l 1 ' 0,1,2, 时 ， l l l l ( 1) '( ' 1), + = + l ' 和 l 给 出 的 结 果 是 相 同 的 。 Legendre’s equation 具有这种对称性。物理上取 l  0. 2. 总之， l = 0,1,2, ， P ( ) l y x = 且 P (1) 1 l = 和多项式的最高次幂的系数为 ( ) ( ) 2 2 ! . 2 ! l l l P ( ) l x 构成正交、完备、封闭和归一集： 1 ' ' 1 1 P ( )P ( ) 1/ 2 l l ll x x x l  + − = +  d (see chapter 12). 封闭： P ( ) l x 及其各种运算均属于此 Hillbert 空间。 3. 本征值问题：泛定 Eq.+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征 值 l = 0,1,2, 和本征函数 P ( ). l x 4. 对 称 性 对 应 守 恒 量 ， 2 2 2 ˆ ˆ [ , ] 0 ( 1) , 0,1,2, . L H L l l l =  = + = ( ) 2 2 ˆ Y ( , ) 1 Y ( , ); L l l lm lm     = + ˆ ˆ [ , ] 0 ( 0, 1, 2, , ). L H L m m l z z =  = =    ˆ Y ( , ) Y ( , ). L m z lm lm     = (2 1)( )! Y ( , ) ( 1) P (cos ) 4 ( )! m m im lm l l l m e l m      + − = − + 球谐函数. 例如：Eq.: 2 y x k y x ( ) ( ) 0 + = ，条件： 0 1 y c y c (0) , (0) = =  ，众所周知解： 1 0 ( ) cos sin . c y x c kx kx k = + 级数解亦如此，不过是级数形式而已：解微分方程 2 y t y t ( ) ( ) 0 + =  ，已知初始( t = 0 )/边界( x = 0 )条件： 0 1 y(0) = a , y (0) = a . [解] 设此方程有如下形式的解 2 3 0 1 2 3 0 n n n n n y a a t a t a t a t a t  = = + + + + + + =  ， （8.1） 逐项微分，有 2 1 1 1 2 3 1 2 3 , n n n n n y a a t a t na t na t  − − =  = + + + + + =  （8.2） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 0 2 1 3 2 1 1 2 1 . n n n n n n n n y a a t n n a t n n a t n n a t  − − =  + =  =  +  + +  − + =  − = +  +   （8.3）