Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 任何方向取值不会是无限大的,这就要求当x=±1时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间-1≤x≤1上有限,我们必须让l为整数。 只有这样,无穷级数才被截断[上面第三步特别注意:cn2(n-1)cnl,y或 y退化为多项式。这些多项式在区间-1≤x≤1都是有限的。 例如,当l=0时,y(x)=1,y(x)发散.当l=1时,y0(x)发散, y(x)=x.当/=2时,y0(x)=1 3 x,(x)发散.当l=3时,y0(x)发散, y(x)=x-x3.一般地,当l=2n时, y(x)=1+ (2k-2-2n)(2k-4-2n)(-2n)2n+1)2n+3)-2n+2k- (2n+2k) (2n) (2k)(n+k)(n-k)! y1(x)发散。令c1=0,则y(x)=c(x)有限。当1=2n+1时,y0(x)发散, H(x)=x+(2k-1-1)(2k-3-1)(1-(+2)(+4)·(+2k) (2k+1) n(n+N文(一N(2k+1)(m+k+)秒小这 (2n+2k+2) k=0 令co=0,则y(x)=c1y1(x)有限(正是我们要的解) 如果我们选择c和c1使得当x=1时,y(x)=1,则上面的多项式解称 为 Legendre多项式,并记为P(x)即当1=2n时,选=(-yg2n-), 当1=2+1时,选a=(-ygn+D)(需要繁琐的运算,请自己验算) 例如,当l=0时,y(x)=P(x)=1.当l=1时,yx)=P{(x)=x 当=2时,y(x)=P(x)=5(3x2-1)当=3时y(x)= (4n-2k) 般地,当=2n时,y()=P2(x)=(N(2n-6)n-2D 当l=2n+1时Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 8 任何方向取值不会是无限大的，这就要求当 x = 1 时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间−1 x 1 上有限，我们必须让 l 为整数。 只有这样，无穷级数才被截断[上面第三步特别注意：c n l c n n +2  − ( ) ]， 0 y 或 1 y 退化为多项式。这些多项式在区间−1 x 1 都是有限的。 例如，当 l = 0 时， y0 (x) = 1， ( ) 1 y x 发散. 当 l =1 时， ( ) 0 y x 发散， y (x) = x 1 . 当 l = 2 时， 2 0 2 3 y (x) = 1− x ， ( ) 1 y x 发散. 当 l = 3 时， ( ) 0 y x 发散， 3 1 3 5 y (x) = x − x . 一般地，当 l = 2n 时， ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 1 ( ) 1 2 ! ! 2 2 ! ( 1) . 2 ! 2 ! !( )! n k k n k k k k n k n n n n n k y x x k n n k x n k n k n k = = − − − − − + + + − = + + = − + −   ( ) 1 y x 发散。令 c1 = 0 ，则 ( ) ( ) 0 0 y x = c y x 有限。当 l = 2n +1 时， ( ) 0 y x 发散， ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 0 2 1 2 3 1 2 4 2 ( ) 2 1 ! !( 1)! 2 2 2 ! 1 . 2 2 ! 2 1 ! 1 ! ! n k k n k k k k l k l l l l l k y x x x k n n n k x n k n k n k + = + = − − − − − + + + = + + + + + = − + + + + −   令 c0 = 0 ，则 ( ) ( ) 1 1 y x = c y x 有限（正是我们要的解）。 如果我们选择 0 c 和 1 c 使得当 x =1 时， y(x) = 1 ，则上面的多项式解称 为 Legendre 多项式，并记为 P ( ). l x 即当 l = 2n 时，选 ( ) ( ) (2 )!! 2 1 !! 0 1 n n c n − = − ， 当 l = 2n +1 时，选 ( ) ( ) (2 )!! 2 1 !! 1 1 n n c n + = − .（需要繁琐的运算，请自己验算） 例如，当 l = 0 时， 0 y x x ( ) P ( ) 1 = = .当 l =1 时， 1 y x x x ( ) P ( ) = = . 当 l = 2 时， ( ) 2 2 1 ( ) P ( ) 3 1 2 y x x x = = − .当 l = 3 时 y x (5x 3x) 2 1 ( ) 3 = − . 一般地，当 l = 2n 时， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 4 2 ! ( ) P ( ) ( 1) 2 ! 2 ! 2 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k − = − = = − − −  . 当 l = 2n +1 时