Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU (2k+1)(2k (2k-1-1)(2k-3-1) (2k+1)(2k)(2k-1)(2k-2) k-1-1)(2k-3-1)(1-)(1+2)…(1+2k-2)(1+2k) 1)! 第五步:写出解的最后形式,确定级数的收敛半径 (x)=cay(x)+cy1(x),其中 =1+X(2k-2-(2k-4-)(-)(+)(+2k-3+2k-x2 (2k) (2k-1-1)(2k-3-1)…(1-1)(l+2)…(l+2k-2)(+2k 2k+1 =x+ (2k+1) 它们在x<1是收敛的,在x21是发散的。 3.发散解的处理一 Legendre polynomials 可以证明,在=1即当x=1时,y(x)和y1(x)是发散的。例如, y(1)=1+ (2k-2-1)(2k-4-1)…(-)(1+1)(1+2k-3)(l+2k-1) k=1 (2k)! 2k+1)(2k+2) u(2k-1)( l+1 l+1 =1+-+O k 因此,由Gaus判别法可知,它是发散的[ See Chapter3 P54|=1+4 k k 当H>1时,∑n收敛:而当≤1时,∑发散 物理要求y(±1)有界!→问题:能否适当选取参数l,使当x取实数值时,y(x)的 特解在区间x≤1上保持有限?答:yes 在下篇我们将看到, Legendre'seq中宗量x常常是球坐标中的cosb,因为 e∈0],因而x=cosO∈[-1,+1我们知道,球对称物理量在球坐标系中Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 7 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k + − − − − + = + − − − − + − + = + − − = − − − − − + + − + = + 第五步：写出解的最后形式，确定级数的收敛半径 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 y x = c y x + c y x ，其中， ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 1 , 2 ! k k k l k l l l l k l k y x k  = − − − − − + + − + − = + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k l k l l l l k l k y x x k  + = − − − − − + + − + = + +  它们在 x  1 是收敛的，在 x 1 是发散的。 3．发散解的处理—Legendre polynomials 可以证明，在 x =1 即当 x = 1 时， 0 y x( ) 和 1 y x( ) 是发散的。例如， ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 (1) 1 , 2 ! k k l k l l l l k l k y k  = − − − − − + + − + − = + ( )( ) 1 ( ) 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 k k u k k k k u k l l k l l k k l l O k k k k k k +         + + + +     = = − + +     +     − +               +  + + + − = + +                     因此，由 Gauss 判别法可知，它是发散的 [See Chapter 3 P.5: 2 1 1 1 . k k u O u k k  +   = + +     当   1 时，   n=1 un 收敛；而当   1 时，   n=1 un 发散]。 物理要求 y( 1)  有界！  问题：能否适当选取参数 l , 使当 x 取实数值时， y x( ) 的 特解在区间 x 1 上保持有限？答：yes! 在下篇我们将看到，Legendre’s eq.中宗量 x 常常是球坐标中的 cos ，因为  0, ，因而 x =  − + cos 1, 1 .    我们知道，球对称物理量在球坐标系中