Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU Const y|2l2|3.2 4·3c (n+2(n+1)cn y 2.10 n(n-D)c IC 2 2 l(+1)y|(+1)col+1|l(+1)c2 l(+1)c lc2+/(+1)co=0 (-D(+ x:3·2c3-2lc1+l(l+1)c1=0, 得c3 -)+2 3·2 CI (2-1)(+3) x2:4·3c4-2lc2-22c2+ll+1l2=0,得 4.3 (2-1(-+1)+3) 5·4c5-3·2c3-2·3c3+l(+1)cs3=0,得 x": (n+2)(n+1)cn+2-n(n-1)c,, +1(+1)c,=0, recurrence relations (n+2)(n+ 特别注意:cn2x(n-) 第四步:由递推公式求出偶次幂项的系数c2k与co之间以及奇次幂项的系数 C2k与c1之间的关系式,于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数 (2k-2-1)(+2k-1) (2k)(2k-1) 2k-2-1)(2k-4-1)(+2k (2k)(2k-1)(2k-2)(2k-3) (2k-2-)(2k-4-1)()(+)(+2k-3)(+2k-1 6Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 6 Const. x 2 x … n x … y  2 1 2  c 3 2 3  c 4 3 4  c … 2 ( 2)( 1) + + n+ n n c … − x y  2 2 1 2 −  c … n − n(n −1)c … − 2xy  2 1 1 −  c 2 − 2  2c … − 2nc1 … l(l +1) y 0 l(l +1)c 1 l(l +1)c 2 l(l +1)c … n l(l +1)c … 0 2 0 x c l l c : 2 1 ( 1) 0  + + = ， 得 ( )( ) 2 0 2 1 1 c l l c  − + = ; 1 3 1 1 x c c l l c : 3 2 2 1 ( 1) 0  −  + + = ， 得 ( )( ) 3 1 3 2 1 2 c l l c  − + = ; 2 4 2 2 2 x c c c l l c : 4 3 2 1 2 2 ( 1) 0  −  −  + + = ，得 ( )( ) ( )( )( )( ) 0 4 2 4! 2 1 3 4 3 2 3 c l l l l c l l c − − + + =  − + = 3 5 3 3 3 x c c c l l c : 5 4 3 2 2 3 ( 1) 0  −  −  + + = ， 得 ( )( ) ( )( )( )( ) 1 5 3 5! 3 1 2 4 5 4 3 4 c l l l l c l l c − − + + =  − + = … … 2 : ( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0 n n n n n x n n c n n c nc l l c + + − − − + + = + ，得 recurrence relations ( )( ) ( )( ) n n c n n n l l n c 2 1 1 2 + + − + + + = . 特别注意： 2 ( ) . n n c n l c +  − 第四步：由递推公式求出偶次幂项的系数 k c2 与 0 c 之间以及奇次幂项的系数 2k+1 c 与 1 c 之间的关系式，于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数。 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 4 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 4 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 4 1 2 3 2 1 . 2 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k − − − − + − = − − − − − + − + − = − − − = − − − − − + + − + − =