Methods of Mathematical Physics(2016. 1 1)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaaPhys FDU 的、满足定解条件y(x)=c0和y(x0)=c1的解析解y(x) 既然解是唯一存在的,而且是解析的,则可将其设为以常点x为展开中 心的 Taylor series:y(x)=∑cn(x-x0),其中cc已知。逐项微分得 (x)=∑ncn(x-x)和yx)=∑m(n-1)cn(x-x)2.将这些带入二阶线 性常微分方程,就可以确定系数{cn}一这种表示理论的“坐标值”。该幂级 数在收敛圆内即为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的解一级数解其收敛 半径是R 勒让德方程( Legendre' equation) -x2)y”-2xy++1)y=0,(1为常数,1阶 Legendre's equation) 物理上球对称 Laplace方程在θ方向(x=cosO),角动量量子数/取零或 正整数;当然数学上l还可取其它值;本质上,含参数的微分方程在确定条 件下存在本征值问题:本征值以量子数表示,本征函数构成正交、完备、归 一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等 See Chapters 12and13. 第一步:考察方程的性质,即判断展开中心点的奇性 Legendre's equation的系数函数是p()=1y和y()s4(+1,它们 在x=0点都是解析的,即x=0是方程的常点。由上面的定理可知, Legendre's equation的解也是解析的。因此该解可展成以x0=0为中心的 Taylor series. 第二步:把解写成y(x)=∑cx,再求出y(x)和y(x)的级数,代入方程。 y=co+c1x+c2x+c3x+……+Cnx"+ y’=c1+2c2x+3c2x2+…+ncnx"1+…, y"=2lc2+32c3x+…+n(n-l)k 第三步:将方程中同次幂项归并,由其系数和为零得出联系cn和cm,的递推 公式(RR,其中Cnc已知)Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 5 的、满足定解条件 0 0 y(x ) = c 和 0 1 y (x ) = c 的解析解 y(x) . 既然解是唯一存在的，而且是解析的，则可将其设为以常点 0 x 为展开中 心 的 Taylor series: ( 0 ) 0 ( ) , n n n y x c x x  = = −  其 中 0 1 c c, 已知。 逐 项 微 分 得 ( ) 1 0 1 '( ) n n n y x nc x x  − = = −  和 ( ) 2 0 2 ''( ) ( 1) . n n n y x n n c x x  − = = − −  将这些带入二阶线 性常微分方程，就可以确定系数{ n c }—这种表示理论的“坐标值”。该幂级 数在收敛圆内即为方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的解—级数解,其收敛 半径是 R. 2．勒让德方程（Legendre’s equation） (1 ) 2 ( 1) 0 2 − x y  − xy  + l l + y = ，（ l 为常数，l 阶 Legendre’s equation）. 物理上球对称 Laplace 方程在  方向 ( cos ) x =  ，角动量量子数 l 取零或 正整数；当然数学上 l 还可取其它值；本质上，含参数的微分方程在确定条 件下存在本征值问题：本征值以量子数表示，本征函数构成正交、完备、归 一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等 See Chapters 12 and 13. 第一步：考察方程的性质，即判断展开中心点的奇性。 Legendre’s equation 的系数函数是 2 1 2 ( ) x x p x − = − 和 2 1 ( 1) ( ) x l l q x − + = ，它们 在 x = 0 点都是解析的，即 x = 0 是方程的常点。由上面的定理可知，Legendre’s equation 的解也是解析的。因此该解可展成以 x0 = 0 为中心的 Taylor series. 第二步：把解写成 0 ( ) n n n y x c x  = = ，再求出 y (x) 和 y (x) 的级数，代入方程。 y = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 ++ cn x n +, y  = c1 + 2c2 x + 3c3 x 2 ++ ncn x n−1 +, y  = 2 1c2 + 3 2c3 x ++ n (n −1)cn x n−2 +. 第三步：将方程中同次幂项归并，由其系数和为零得出联系 n c 和 n+2 c 的递推 公式（RR，其中 0 1 c c, 已知）