Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU (3)×y(x)-()×y3(x)得 Oy""+p(x)0y'-yay=f(x)y(x) 即(y3-y1)+p(xuy3-yy)=f(x)y(x) 令Q(x)=△(y3,y1)= ,则上式变为 do(x) p(xo(x)=f(xy,(x) 作代换Q(x)=△(x)(x),其中△(x) 得 (x)-△(x p(x)△(x)(x)=f(x)y1(x),即 △(x) dr=f(x)(x),[利用了dA(x)=-p(x)A(x) 所以(x)=-f(x)y(x)x.那么Q(x)=-△(x)「f(x)y(x) △(x) △(x) 由于4(1=-M=-9=(x)[()dx, d △(x) 再积分,即得y(x)=y(x) △(x)rf(x)y1(x) △(x) 用分步积分改写,即得 y(224d △(x) f(x)y,(x) yI(x △(x)|-y(x)/)(x)y(x)△(x) △(x)y2 y(rf(x)y(r/(x)y2(x) △(x) 其中,我们利用了y()=(22=y(2p(xx1 、常点邻域方程的级数解法 1.解的存在和唯一性定理:如果系数函数p(x)和q(x)在圆域|x-x<R 内是解析的,则在此圆域内,方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0存在唯一Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 4 1 3 (3) ( ) (1) ( )  −  y x y x 得， ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y  − y y  + p x y y  − y y  = f x y x ， 即 ( ) ( )( ) ( ) ( ) d d 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y y y p x y y y y f x y x x  −  +  −  = . 令 3 1 3 1 3 1 ( ) ( , ) y y y y Q x y y     = ，则上式变为， ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x Q x f x y x x Q x − − = . 作代换 Q(x) = (x)u(x) ，其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x    = ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x x u x f x y x x u x u x x x x −  −  =  − ，即 ( ) ( ) d d ( ) ( ) 1 f x y x x u x −  x = ， [利用了 ( ) ( ) d d ( ) p x x x x = −   ]. 所以   = − x x f x y x u x d ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 那么   = − x x f x y x Q x x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 由于    = − =  −  =        x x f x y x y x y Q x y y y y y y y x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 3 ， 再积分，即得           = x x x f x y x y x y x y x d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 . 用分步积分改写，即得           −  =         −               =               = x x f x y x x y x x f x y x y x x x y x x f x y x x y x x f x y x x y x y x x y x x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 [其中，我们利用了  p x x x y x y x y x y x y x exp ( )d d 1 d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1    = −  = ]. 二、 常点邻域方程的级数解法 1. 解的存在和唯一性定理：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在圆域 x − x0  R 内是解析的，则在此圆域内，方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 存在唯一