Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 定理三:若y(x)是方程yx)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的一个特解,则 方程的另一个线性无关的特解为( See adv.Math) y2(x)=y1(x) 「p(x)drt [证明]既然y(x)和y2(x)是方程的解,所以 y(x)+p(x)y1(x)+q(x)y(x)=0, y2(x)+p(x)y2(x)+q(x)y2(x)=0 由于y1(x)和y2(x)是线性无关的,因此它们的 Wronski行列式不为 零,即M()=P=0.0)×y-(2×男,可得 vy -V23)+p(x)(y2-V2y=0 因此,(y2-y2)=p(xyy-y2y) 此即, p(xA.积分后可得△()=2△(,y)=e∫mxd] 由于日兰|=-P2=△(x)1 expF p(x)d dx(y VI 再积分,即得n2(x)=H(+Jp(x)dr 4.非齐次方程的通解 定理四:若y1(x)和y2(x)是方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的两个线 性无关解,则相应非齐次方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=f(x) 的一个特解为 y(x)=2(2C(d-x(x)xD(x)dx, △(x) 其中A功)≈/1y2是 Wronski行列式 [证明]设y3(x)为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=f(x)的任一特解,即 y?(x)+p(x)y3(x)+q(x)y2(x)=f(x)Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 3 定理三：若 ( ) 1 y x 是方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的一个特解，则 方程的另一个线性无关的特解为（See Adv. Math.）  p x x x y y x y x exp ( )d d 1 ( ) ( ) 2 1 2 1   = − . [证明] 既然 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程的解，所以 y1 (x) + p(x)y1 (x) + q(x)y1 (x) = 0 , (1) y2 (x) + p(x)y2 (x) + q(x)y2 (x) = 0. (2) 由于 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是线性无关的，因此它们的 Wronski 行列式不为 零，即 ( ) 0 1 2 1 2     = y y y y x . 2 1 (1) (2)  −  y y ，可得 (y1 y2  − y2 y1 )+ p(x)(y1 y2  − y2 y1 ) = 0. 因此， ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) d d y y y y p x y y y y x  −  = −  −  . 此即， = −   ( ) d d p x x . 积分后可得 ( )    (x) =  y , y = exp − p(x)dx 1 2 . 由于    = −  =  −  =        p x x y y x y y y y y y y x exp ( )d ( ) 1 d d 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 再积分，即得  p x x x y y x y x exp ( )d d 1 ( ) ( ) 2 1 2 1   = − . 4. 非齐次方程的通解 定理四：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的两个线 性无关解，则相应非齐次方程 y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x) 的一个特解为    −  = x x f x y x x y x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 ， 其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x    = 是 Wronski 行列式。 [证明] 设 ( ) 3 y x 为方程 y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x) 的任一特解，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 y  x + p x y  x + q x y x = f x . (3)