Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 定理一(迭加原理):若y(x)和y2(x)是n阶线性微分方程(共有n个解) 凵”d y(x)≡Lny(x)=0 的两个解,则A(x)+b2(x)也是该方程的解(A和B是两个任意常数)。 定理二:若y(x)和y2(x)是方程 y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x=Lyx)=0 的两个特解,则y(x)和y2(x)线性无关的充要条件是:它们的朗斯基 (Wmom)列式(数学: Wronsky行列式)(,x)=(m)ay 不为 零。这条定理是显而易见的,如果y和y2是线性相关的,则令 y1(x)+B2(x)=0.将其微商便得到方程组 Ay+ By2=0 Ayi+ By?=0 当△=,|=0时,有非零的A和B解,此即n/y=-AB反之,当 y2 △≠0时,只有平凡解:A=B=0,此即表示y和y2是线性无关的(两者 的比值是x的函数)。 Wronski行列式的性质: i)交换对称性:△(y1,y2)=△(y2y) i)对数连续性:△(x1)吗= dlogyil=dogn dlog x o d logx - i)线性相关性:△(,y2)=0 for all x)→y2=y(c= const.) 如果y(x)和y2(x)为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的两个线 性独立解(称为特解),那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线 性组合。因此,对于这个方程来说,{v(x),y2(x)是完备系(基本解而 y(x)=(x)+B2(x)为通解。有了通解,再根据定解条件:y(x0)=a和 y(x0)=B,就可以确定常数A和BMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 2 定理一（迭加原理）：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是 n 阶线性微分方程（共有 n 个解） 1 0 1 0 d d d d ˆ , , , , ( ) ( ) 0 d d d d n n L y x L y x n n n x x x x − −      =   的两个解，则 ( ) ( ) 1 2 Ay x + By x 也是该方程的解（ A 和 B 是两个任意常数）。 定理二：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 2 ˆ y x p x y x q x y x L y x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + +  = 的两个特解，则 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 线性无关的充要条件是：它们的朗斯基 （Wronski）行列式(数学：Wronsky 行列式) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 1 2 y x y x y x y x y y     不为 零 。 这条定理是显而易见的 ， 如 果 1 y 和 2 y 是线性相关的 ， 则 令 Ay1 (x) + By2 (x) = 0 . 将其微商便得到方程组     +  = + = 0 0 1 2 1 2 Ay By Ay By . 当 0 1 2 1 2 =    = y y y y 时，有非零的 A 和 B 解，此即 2 1 y y A B / / . = − 反之，当   0 时，只有平凡解： A = B = 0 ，此即表示 1 y 和 2 y 是线性无关的（两者 的比值是 x 的函数）。 Wronski 行列式的性质： i) 交换对称性：  =  ( y y y y 1 2 2 1 , , . ) ( ) ii）对数连续性： ( ) 0 0 0 1 2 1 2 d log d log , | 0 | | . d log d log x x x x x x y y y y x x  =  = = = = iii）线性相关性：  =  = = ( y y x y cy c 1 2 2 1 , 0 (for all ) ( const. ). ) 如果 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 为方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的两个线 性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线 性组合。因此，对于这个方程来说， y1 (x), y2 (x) 是完备系(基本解)，而 ( ) ( ) ( ) 1 2 y x = Ay x + By x 为通解。有了通解，再根据定解条件： y(x0 ) = 和 y (x0 ) =  ,就可以确定常数 A 和 B