Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU Chapter8线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 特点 1)过程繁杂乏味,结果简单精彩。 2)问题复杂,思路原始。 3)想法既笨(非小技巧)又绝顶聪明 4)学思路方法,用时查手册、程序 基本概念及通解结构 1.二阶线性常微分方程的标准形式 y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=f(x)变系数方程,非齐次, 其非齐次项f(x)亦称为自由项 y"(x)+P(x)y(x)+q(x)y(x)=0 齐次方程 y"(x)+P0y(x)+q0y(x)=0 二阶线性常系数齐次微分方程。 对于一般n阶线性齐次常微分方程,可以用算符L作用到函数y(x)上的 形式表示 (x)=0 dx" dx"- dx d L是各阶微商的线性函数,最高阶为n,称为n阶线性微分算符。所谓线 性,指算符L中,仅仅包含(x)的各阶微商(包括零阶)的一次幂项 2.方程的常点和正则奇点(特点:常点非常,奇点更奇) 为进行比较普遍的讨论,我们取方程的宗量为复变量 方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是,解的解析性由系数 的解析性决定。常点:如果系数函数p(x)和q(x)在x=x点是解析的,则 x0点称为二阶线性常微分方程的常点。 奇点:如果p(x)和q(x)中的一个(或两个)在x=x点是不解析,则x点 称为二阶线性常微分方程的奇点 正则奇点:如果x=x点为方程的奇点,但在该点函数(x-x0)(x)和 (x-x)q(x)都是解析的,则x点称为二阶线性常微分方程的正则奇点 (二阶奇点可解,有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换) 3.齐次方程的通解结构Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 特 点： 1） 过程繁杂乏味, 结果简单精彩。 2） 问题复杂，思路原始。 3） 想法既笨（非小技巧）又绝顶聪明。 4） 学思路方法，用时查手册、程序。 一、 基本概念及通解结构 1. 二阶线性常微分方程的标准形式 y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x) 变系数方程，非齐次， 其非齐次项 f (x) 亦称为自由项。 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 齐次方程 y (x) + p0 y (x) + q0 y(x) = 0 二阶线性常系数齐次微分方程。 对于一般 n 阶线性齐次常微分方程，可以用算符 L 作用到函数 y(x) 上的 形式表示： 1 0 1 0 d d d d , , , , ( ) 0 d d d d n n n n L y x x x x x − −     =   ， L 是各阶微商的线性函数，最高阶为 n ，称为 n 阶线性微分算符。所谓线 性，指算符 L 中，仅仅包含 y(x) 的各阶微商（包括零阶）的一次幂项。 2. 方程的常点和正则奇点（特点：常点非常，奇点更奇） 为进行比较普遍的讨论，我们取方程的宗量为复变量。 方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是，解的解析性由系数 的解析性决定。常点：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在 0 x x = 点是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的常点。 奇点：如果 p(x) 和 q(x) 中的一个（或两个）在 0 x x = 点是不解析，则 0 x 点 称为二阶线性常微分方程的奇点。 正则奇点：如果 0 x x = 点为方程的奇点，但在该点函数 ( ) ( ) 0 x − x p x 和 ( ) ( ) 2 0 x − x q x 都是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的正则奇点 （二阶奇点可解，有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换）。 3. 齐次方程的通解结构