解易知函数在(-∞,0)∪(0,+∞)上连续,要是函数在x=0处也连续,则 lim f(x)= lim = lim x→0x( 2=/(k 10.设常数a>0,b>0,证明方程x= asin x+b至少有一个正根,并且它不超 过a+b 证令函数f(x)=(x-b)- asin,f(0)=(0-b)-asin0=-b<0, f(a+b)=(a+b-b)-asin(a+b)=a-asin(a+b) 当sin(a+b)<1时,f(a+b)>0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使 得f(5)=0,即为原方程的根,它是正根且不超过a+b 当sin(a+b)=1时,f(a+b)=0,则a+b是原方程的正根,且不超过a+b 11.设函数f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,2a]上至少存 在一点5,使f(5)=f(2+a) 证构造函数F(x)=f(x)-f(x+a),则F(x)在[0,a]上连续,且 F(0)=f(0)-f(a),F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0) 若f(0)=f(a),则ξ=0即是满足∫(5)=∫(2+a)的点; 若f(0)≠f(a),则必有F(0)与F(a)异号,故由零点定理,至少存在一点 ∈(0,a),使得F(5)=0,即f()=f(2+a) 综上,至少存在一点ξ∈[0,a]c10,2a],使∫(5)=f(2+a) 12.设4,2,…,是n个正数,并且它们的和等于1,证明:如果函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续,那么对于区间[ab]上的任意n个点x1x2,…,xn,至少有一点 5∈[a,b],使得 f(5)=∑4f(xk) 证因为∫(x)在[anb]上连续,故存在最大最小值,不妨设 M=max{f(x)x∈a,bl},m=min{f(x)kx∈b] ∑4m≤∑入f(x)∑入M=M 由介值定理,至少存在一点5∈[a,b,使得∫(5)=∑f(x)5 解 易知函数在( , 0) (0, ) −∞ + ∞ ∪ 上连续, 要是函数在 x = 0 处也连续, 则 00 0 0 1 lim ( ) lim lim lim ( ) xx x x a ax x f x x x a ax a ax →→ → → −− − − − − == = + − +− 1 1 (0) 2 2 f a = = = , 故 a =1. 10. 设常数 a > 0 , 0 b > , 证明方程 x = a xb sin + 至少有一个正根, 并且它不超 过 a b + . 证 令函数 f ( ) ( ) sin x xb a x =−− , (0) (0 ) sin 0 0 f ba b = − − =− < , f ( ) ( ) sin( ) sin( ) ab abb a ab aa ab + = +− − + =− + , 当 sin( ) 1 a b + < 时, ( ) 0 fa b + > , 由零点定理, 至少存在一点ξ ∈(0, ) a b + , 使 得 f () 0 ξ = , 即ξ 为原方程的根, 它是正根且不超过 a b + ; 当sin( ) 1 a b + = 时, ( ) 0 fa b + = , 则 a b + 是原方程的正根, 且不超过 a b + . 11. 设函数 f ( ) x 在[0, 2 ] a 上连续, 且 f (0) (2 ) = f a , 证明: 在[0, 2 ] a 上至少存 在一点ξ , 使 f () ( ) ξ = + f a ξ . 证 构造函数 Fx f x f x a () () ( ) = −+ , 则 F x( )在[0, ] a 上连续, 且 F f fa (0) (0) ( ) = − , ( ) ( ) (2 ) ( ) (0) Fa f a f a f a f = − =− , 若 f (0) ( ) = f a , 则ξ = 0即是满足 f () ( ) ξ = f a ξ + 的点； 若 f (0) ( ) ≠ f a , 则必有 F(0) 与 F a( ) 异号, 故由零点定理, 至少存在一点 ξ ∈(0, ) a , 使得 F() 0 ξ = , 即 f () ( ) ξ = f a ξ + . 综上, 至少存在一点ξ ∈ ⊂ [0, ] [0, 2 ] a a , 使 f () ( ) ξ = f a ξ + . 12. 设 1 2 ,,, λ λ λ " n 是 n 个正数, 并且它们的和等于1 , 证明: 如果函数 f ( ) x 在 闭区间[, ] a b 上连续, 那么对于区间[, ] a b 上的任意 n 个点 1 2 ,,, n x x x " , 至少有一点 ξ ∈[, ] a b , 使得 1 () ( ) n k k k f ξ λ f x = = ∑ . 证 因为 f ( ) x 在[, ] a b 上连续, 故存在最大最小值, 不妨设 M = ∈ max{ ( ) [ , ]} f x x ab , m f x x ab = ∈ min{ ( ) [ , ]} , 则 11 1 ( ) nn n k kk k kk k m m fx M M λλ λ == = =≤ ≤ = ∑∑ ∑ , 由介值定理, 至少存在一点ξ ∈[, ] a b , 使得 1 () ( ) n k k k f ξ λ f x = = ∑