f(x lir Sinx= lim sin x→0ln2 故lmf(x)=3mn2 x→0 8.写出下列函数的连续区间与间断点,并指出间断点的类型 (1)f(x)= (2)f(x) n 解(1)易知连续区间为(-∞,1)∪(1,+∞),因为 lim -er-= lim(x+D)e-l=+oo, lim x→x-1 r-l= lim(x+D)e -=0 故x=1是第二类间断点 (2)当0<x<时,f(x)=m=n=m2he”(+()1 ln(1+(-)) =lim[1+ 当x=e时,f(x)=lim n→ n→①n 当x>e时,f(x)=me+x)mnx+(sy lim[Inx+ n→ 月→① 即x)=1.0x56在x=处,1m1)=me=1,m/(x2=1 故f(x)在x=e处连续,故函数连续区间为(0,+∞ 0 9.设f(x)=/2 要使f(x)在(-∞,+∞)内连续,应如何选择 0, 数a?4 2 0 000 () () ln(1 ) 1 () 1 () sin sin lim lim lim lim 3 2 1 ln 2 ln 2 sin ln 2 x x xxx fx fx fx fx x x → →→→ x xx x + == = = − ⋅ , 故 2 0 ( ) lim 3ln 2 x f x → x = . 8. 写出下列函数的连续区间与间断点, 并指出间断点的类型: (1) 2 1 1 1 () e 1 x x f x x − − = − ; (2) ln(e ) ( ) lim ( 0) n n n x fx x →∞ n + = > . 解 (1) 易知连续区间为( ,1) (1, ) −∞ +∞ ∪ , 因为 2 1 1 1 1 1 1 1 lim e lim ( 1)e 1 x x x x x x x + + − − → → − = + = +∞ − , 2 1 1 1 1 1 1 1 lim e lim ( 1)e 0 1 x x x x x x x − − − − → → − = + = − , 故 x =1是第二类间断点. (2) 当0 e < <x 时, ln[e (1 ( ) ] ln(e ) e ( ) lim lim n n n n n n x x f x →∞ →∞ n n + + = = ln(1 ( ) ) e lim[1 ] n n x →∞ n + = + ( ) e lim[1 ] 1 n n x →∞ n =+ = ; 当 x = e时, ln(e ) ln(2e ) ( ) lim lim 1 nn n n n x f x →∞ →∞ n n + = == ; 当 x > e时, e ln[ (1 ( ) ] ln(e ) ( ) lim lim n n n n n n x x x f x →∞ →∞ n n + + = = e ln(1 ( ) ) lim[ln ] n n x x →∞ n + = + e ( ) lim[ln ] ln n n x x x →∞ n = += . 即 1, 0 e, ( ) ln , e, x f x x x ⎧ < ≤ = ⎨ ⎩ > 在 x = e处, lim ( ) ln e 1 x e f x → + = = , lim ( ) 1 x e f x → − = , 故 f ( ) x 在 x = e处连续, 故函数连续区间为(0, ) + ∞ . 9. 设 cos , 0, 2 ( ) , 0, x x x f x a ax x x ⎧ ≥ ⎪ ⎪ + = ⎨ ⎪ − − < ⎪⎩ 要使 f ( ) x 在 (, ) −∞ +∞ 内连续, 应如何选择 数 a ?