《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 第十七章多元函数的微分学 §1可微性 教学目的掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件 教学要求 (①)基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的 必要条件与充分条件。 (②)较高要求：切平面存在定理的证明。 教学建议 ()本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义. (②)通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数 与可微这三个分析性质之间的关系。 教学程序 一、可徽性与全徽分： 由一元函数可微性引入二元函数可微性. 定义1（可微性）设函数z=fx,)在点P(xo,%)的某邻域UB。)内有定 义，对于UP)中的点Px,)=(x。+△x,6+△，若函数f在点B处的全增量 可表示为△z=fx。+△x,6+△y)-fx,=A△x+BAy+(p列，其中A,B 是仅与点P有关的常数，p=√△x2+△，(p)是较p高阶的无穷小量，则称函 数f在点P处可微 全微分：|s=(%)=AAx+B弘y 当△x,△充分小时 dz≈Az fx,功≈fxo,o)+A(x-xo)+By-yo) 例1考查函数fx,)=y在点(x,)处的可微性 二、偏导数 (一)、偏导数的定义、记法 《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 1 第十七章 多元函数的微分学 §1 可微性 教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求 (1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的 必要条件与充分条件． (2) 较高要求：切平面存在定理的证明． 教学建议 (1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义． (2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数 与可微这三个分析性质之间的关系． 教学程序 一、 可微性与全微分: 由一元函数可微性引入二元函数可微性. 定义 1（可微性） 设函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 0 P x y ( , ) 的某邻域 0 U P( ) 内有定 义，对于 0 U P( ) 中的点 0 0 P x y x x y y ( , ) ( , ) = +  +  ，若函数 f 在点 P0 处的全增量 可表示为 0 0  = +  +  − =  +  + z f x x y y f x y A x B y ( , ) ( , ) ( )  ,其中 A，B 是仅与点 P0 有关的常数， 2 2   =  +  x y , ( ) 是较  高阶的无穷小量，则称函 数 f 在点 P0 处可微。 全微分: 当   x y , 充分小时 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) dz z f x y f x y A x x B y y    + − + − . 例 1 考查函数 f (x, y) = xy 在点 ( , ) 0 0 x y 处的可微性 . 二 、 偏导数 （一）、偏导数的定义、记法