《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 ∫x,)在点(x,)存在偏导数定义为： w=▣W园或么=飞+-园 x-X =》或化，=▣+- y-% Ay 偏导数的几何意义： 8=fx,) f( (二)、求偏导数 例2f(x,y)=(x2+2x+3)s(2y+1).求偏导数. 例3f(x,y)=xnx+1)+V少2+1.求偏导数. 例4(x,)= 产行·求导数。并求2，-1. x+y 三、可微条件 (一)、必要条件 定理17.1设(x0,%)为函数f(x,y)定义域的内点·f(x,y)在点(xo,%)可 微的必要条件是∫(x,%)和了，(x,)存在，且 d=dr(x%)=∫(xo,)△r+(,%)Ay. 证明： 由于△x=dk,Ay=,微分记为 df(xo.yo)=f(xo,vo)dx+f(xo,yo)dy. 2《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 2 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 存在偏导数定义为： 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 x x f x y f x y f x y x x x − − = → 或 x f x x y f x y f x y x x x  +  − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 y y f x y f x y f x y y y y − − = → 或 y f x y y f x y f x y y y y  +  − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 偏导数的几何意义: （二）、求偏导数: 例 2 f (x, y) = ( 2 3)sin( 2 1) 2 x + x + y + . 求偏导数. 例 3 f (x, y) = ln( 1) 1 2 x x + + y + . 求偏导数. 例 4 f (x, y) = 2 2 x y x y + + . 求偏导数, 并求 ( 2 , −1) x f . 三 、 可微条件 （一）、必要条件 定理 17.1 设 ( , ) 0 0 x y 为函数 f (x, y) 定义域的内点 . f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可 微的必要条件是 ( , ) 0 0 f x y x 和 ( , ) 0 0 f x y y 存在 , 且 ( , ) = ( 0 , 0 ) = 0 0 df df x y x y ( , ) 0 0 f x y x x + ( , ) 0 0 f x y y y . 证明： 由于 x = dx , y = dy , 微分记为 df (x0 , y0 ) = ( , ) 0 0 f x y x dx + ( , ) 0 0 f x y y dy