《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法.但是两个偏导数存在只是可 微的必要条件，而不是充分条件。 例5.考查函数 川=F+产+2≠0. xy 0, x2+y2=0 在原点的可微性 这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！） (二)、充分条件 定理17.2（可微的充分条件）若函数：=fx,)的偏导数在的某邻域 内存在，且和了，在点(x。,y)处连续·则函数f在点(x,)可微。 定理17.3（中值定理）设函数∫在点(x。,)的某邻域内存在偏导数，若 (x,)属于该邻域，则存在5=x。+日，(x-x)和7=%+0,0-)， 0<0<1,0<0<1,使得 f(x,y)-fx0,o)=f(5,yx-x)+f,(x,7y-%). (证路) 推论若f,(x,y)在点(x,)处连续，f(x,y)点(x。,)存在，则函数 ∫在点(x,)可微 证明：f(x。+△x,%+Ay)-f(o,%) =[fx,+△x,o+Ay)-f(x+△x,小+[fx,+△x,%)-f(x0,%】 =f(xo+Ar,o+y)Ay+(xo:Yo)Ax+aAr 0<0<1,a→0 =[f,(x,%)+B]△y+f(xo,%)△r+aAx B→0 =f(xo.o)Ax+f(xo,Yo)Ay+aAx+BAy 即f在点(x,%)可微 3 《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 3 定理 17.1 给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可 微的必要条件, 而不是充分条件. 例 5．考查函数      + = +  = + 0 , 0 , 0 , ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在原点的可微性 . 这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！） （二）、充分条件 定理 17.2（可微的充分条件）若函数 z = f (x, y) 的偏导数在的某邻域 内存在 , 且 x f 和 y f 在点 ( , ) 0 0 x y 处连续 . 则函数 f 在点 ( , ) 0 0 x y 可微。 定理 17.3（中值定理）设函数 f 在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内存在偏导数 . 若 (x, y) 属于该邻域 , 则存在 ( ) 0 1 0  = x + x − x 和 ( ) 0 2 0  = y + y − y , 0 1 1, 0  2 1, 使得 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) 0 0 0 0 0 f x y f x y f y x x f x y y − = x  − + y  − . ( 证略 ) 推论 若 f (x, y) y 在点 ( , ) 0 0 x y 处连续, f (x, y) x 点 ( , ) 0 0 x y 存在 , 则函数 f 在点 ( , ) 0 0 x y 可微 证明： f (x + x , y + y) − f 0 0 ( , ) 0 0 x y  ( , ) ( , )  ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 = f x + x y + y − f x + x y + f x + x y − f x y 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 1, 0 y x = +  +   +  +    → f x x y y y f x y x x     0 0 0 0 ( , ) ( , ) y x = +  +  +    f x y y f x y x x      → 0 f x y x f x y y x y = x ( 0 , 0 ) + y ( 0 , 0 ) + +  . 即 f 在点 ( , ) 0 0 x y 可微