《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 (x2+y)sin- x2+y2≠0， 例6fx,) x+y2 0, x2+y2=0. 验证函数fx,)在点(0,0)可微，但了和f,在点(0,0)处不连续 证明： ”+扩@→0，cm→0. 1 因此f(x,)=o(p),即f(x,)-f0.0)=0Ar+0△y+o(p), f在点(0,0)可微，∫(0,0)=0，∫，(0,0)=0.但(x)≠(0,0)时，有 1 1 f(x.y)=2xsin- +FF+FF+万 沿方向：只+，马+反不存在，→沿方向y红极限 巴F+可0不存在：又红)→(0.0)时， 1 1 2xsin- vx+y →0，因此，G)不存在，人在点(0,0)处不连续。 由∫关于x和y对称，∫，也在点(0,0)处不连续· (三)、连续、偏导数存在及可徽之间的关系： 这三个概念之间的关系可以用下图表示（在(x,)点）》 ∫连续 人，∫连续 f可微 了，了，存在 在上述关系中，反方向均不成立。下面以(x。,)=(0,0)点为例，逐一讨论。 例1x功=+r+少0 x2+y2=0《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 4 例 6      + = +  + + = 0 , 0 . , 0 , 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 验证函数 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 可微 , 但 x f 和 y f 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续 . 证明： 0 , ( , ) (0 , 0). 1 sin ( , ) 2 2 2 2 → → + = + x y x y x y f x y  因此 f (x, y) = () , 即 f (x, y) − f (0,0) = 0x + 0y +() , f 在点 (0 , 0) 可微 , f x (0,0) = 0 , f y (0,0) = 0 . 但 (x, y)  ( 0 , 0 ) 时, 有 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 ( , ) 2 sin x y x y x x y f x y x x + + − + = , 沿方向 y = kx, 0 2 2 0 2 | | 1 lim lim x k x x y x x x + = + → → 不存在,  沿方向 y = kx, 极限 0 2 2 2 2 1 lim cos x y x y x x + + → 不存在 ; 又 (x, y) → ( 0 , 0 ) 时, 0 1 2 sin 2 2 → x + y x ,因此, lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x x y → 不存在 , x f 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续. 由 f 关于 x 和 y 对称, y f 也在点 ( 0 , 0 ) 处不连续 . （三）、连续、偏导数存在及可微之间的关系： 这三个概念之间的关系可以用下图表示（在 ( , ) 0 0 x y 点） 3 1 2 4 在上述关系中，反方向均不成立。下面以 ( , ) (0,0) x0 y0 = 点为例，逐一讨论。 例 1      + = +  = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y x f ， y f 连续 f 可微 f 连续 x f ， y f 存在