《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 这是教材中的典型例题，f,(0,0)-f,(0,0)=0均存在，但f(x,y)在(0.0)点不可 微，且mf心，)不存在，即f心x)在(0,0)点不连续 例2fx,)=√x2+y，这是上半圆锥，显然在(0.0)点连续， x9=0=f00. f(x.0)-1(00x>0 x=x=-1,x<0 故∫(0,0)不存在。由x,y的对称性，∫，0,0)不存在。从而，fx,)在(0,0) 点不可微（否则，∫0,0），f,(0,0)均存在)。 1 倒3功-+m24+r0 0, x2+y2=0 f00=0:/100=m, 由x,y的对称性，f,0,0)=0。 fx,y)-f0,0)-f(0.0)x-f,(0,0)y vx+y 立可08 1 vx2+y2 y→0 故fx,y)在(0,0)点可微。且df(0,0)=f(0,0)d+∫0,0)y=0 f,(x.y)= 2m4yy4+y0 0, x2+y2=0 取点列B)七2=0，显然P化)→00X→四 f(xn,yn)=-22 cos2n→-(n→o) 故m∫(x,y)不存在，从而∫(x)在(0,0)点不连续。由x,y的对称性，f,(x) 8 5 《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 5 这是教材中的典型例题， f x (0,0) = f y (0,0) = 0 均存在，但 f (x, y) 在 (0,0) 点不可 微，且 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在，即 f (x, y) 在 (0,0) 点不连续。 例 2 2 2 f (x, y) = x + y ，这是上半圆锥，显然在 (0,0) 点连续， lim ( , ) 0 (0,0) 0 0 f x y f y x = = → → , 但    −   = = = − 1, 0 ( ,0) (0,0) | | 1, 0 2 x x x x x x x f x f 故 (0,0) x f 不存在。由 x, y 的对称性， (0,0) y f 不存在。从而， f (x, y) 在 (0,0) 点不可微（否则， (0,0) x f ， (0,0) y f 均存在）。 例 3      + = +  + + = 0, 0 , 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 0 1 sin lim ( ,0) (0,0) (0,0) lim 2 2 0 0 = = − = → → x x x x f x f f x x x ， 由 x, y 的对称性， f y (0,0) = 0 。 2 2 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) x y f x y f f x f y x y + − − − 0 1 sin 1 ( )sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → + = + + + + = x y x y x y x y x y （ 0 0 → → y x ） 故 f (x, y) 在 (0,0) 点可微。且 df (0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0      + = +  + + − = + 0, 0 , 0 1 cos 1 2 2 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x x y x f x y x 取点列 ( , ) n n n P x y ， n xn 2 1 = ， yn = 0 ，显然 P (x , y ) → (0,0)(n → ) n n n f (x , y ) = −2 2n cos2n → −(n → ) x n n   故 lim ( , ) 0 0 f x y x y x → → 不存在，从而 f (x, y) x 在 (0,0) 点不连续。由 x, y 的对称性， f (x, y) y