第十五讲分离变量法(二) §15.1两端固定弦的自由振动(续) 定解问题考虑长为1、两端固定的弦的自由振动,方程及定解条件为 a2u a2= x2=0 0<x<l,t>0 ux=0=0,ux=1=0,t≥0 u==(x),t==(x),0≤x≤l 第一步:分离变量 ★目标分离变量形式的非零解u(x,t)=x(x)T(t) 0 ★结果函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程 ★条件偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数X(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常数入, 定解条件是一对齐次边界条件,这样的定解问题不同于常微分方程的初值问题, 并非对于任何入值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零解 只有当入取某些特定值时,才有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零 解X(x). 入的这些特定值称为本征值, 相应的非零解称为本征函数 函数X(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 第二步:求解本征值问题 本征值n=(),n123 本征函数Xn(x)=sinx 这样求得的本征值有无穷多个,它们可以用正整数n标记,因此,在上面的结果中,把本征值和 相应的本征函数都记为入n和Xn(x)Wu Chong-shi ￾✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) §15.1 ✡☛☞✌✍✎ ✏✑✒✓ (✔) ✕✖✗✘ ✙✚✛✜ l ✢✣✤ ✥✦✧★✧ ✩✪✫✬✭✮✯✰✦✱✲✳✜ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, u   x=0 = 0, u   x=l = 0, t ≥ 0, u   t=0 = φ(x), ∂u ∂t    t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. ✴✵✶✷ ✸✹✺✻ F ✼✽ ✾✿❀❁❂❃✧❄❅✱ u(x, t) = X(x)T (t) F ❆❇ ❈❉ X(x) ❊❋✧●❍✾✮✯■❏❑✲✳▲✰ T (t) ❊❋✧●❍✾✮✯ F ▼◆ ❖❍✾✮✯■❏❑✲✳P◗❘❙✧ ❚❯ ❱❚❲❳❨ X(x) ❲❩❬❭❪❫❴❵ ❛❜✭ ❝❞❡✷❬❭❪❫ ❢❣❤✐❴❩❨ λ ✭ ❴❵❥❦❡❧♠♥♦♣q❥❦rst❲❴❵ ❛❜✉ ✈✇❩❬❭❪❫❲①② ❛❜r ③ ④♠✇⑤⑥ λ ② ✭⑦❤⑧⑨⑩♥♦❩❬❭❪❫✢❶⑨⑩♥♦♣q❥❦❲ ④❷❵r ❸❤ ❹ λ ❺ ❻❼❝❴②❽✭❾❤⑧⑨⑩♥♦❩❬❭❪❫✢❶⑨⑩♥♦♣q❥❦❲ ④❷ ❵ X(x) r λ ❲s❼ ❝❴②❿➀ ➁➂➃ ✭ ➄➅❲ ④❷❵❿➀ ➁➂➆➇ r ❳❨ X(x) ❲❩❬❭❪❫❴❵ ❛❜✭❿➀ ➁➂➃✗✘ r ✴➈✶✷ ➉✖➁➂➃✗✘ ➊➋➌ λn = nπ l 2 , n = 1, 2, 3, · · · ➊➋❈❉ Xn(x) = sin nπ l x. ➍➎➏➐✧ ➊➋➌➑➒➓➔→✭➣↔↕▲➙➛➜❉ n ➝➞✭➟➠✭➡➢➤✧➥➦ ➧✭➨➊➋➌■ ➩➫✧ ➊➋❈❉P➞✜ λn ■ Xn(x) r