§15.1两端固定弦的自由振动(续) 第三步:求特解,并叠加出一般解 在求解了本征值问题后,对于每一个本征值A,由方程 可以求出相应的Tn(t) Tn(t)=Cn sin at+ Dn cos at 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 un (z, t)=(cn sin "Tat+D, cos Tat )sin Tr (n=1, 2, 3,) 这样的特解有无穷多个 ★每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 ★一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定解问题中的初始条件,即一般无法找到常 数Cn和Dn,满足 Dn sin Tz=o(z), Cn =v(a) ★偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的(任意有限个)特解叠加起来,仍然是满足齐次 方程和齐次边界条件的解.是否可能满足初始条件? ★把全部无穷多个特解叠加起来 n(x)=∑(cn at +D,costA 只要级数具有足够好的收敛性(例如,可以逐项求二阶偏微商),那么,这样得到的u(x,t)也仍然 是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解, 这种形式的解称为一般解.它不同于偏微分方程的通解,因为 般解不只是满足偏微分方程,而且满足齐次边界条件 如何选择一般解中的叠加糸数Cn和Dn? nTT v(r 第四步:利用本征函数的正交性定叠加系数 理论依据本征函数的正交性 Xn(x)Xm(x)dx=0,n≠mWu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 2 ➪ ✴➶✶✷ ➉➹✖ ✭➘ ➴➷➬➮➱✖ ➡ ➏ ✱✃➊➋➌❐❒❮✭❰ÏÐ✵→➊➋➌ λn ✭✪✮✯ T 00(t) + λa2T (t) = 0 ↕▲➏Ñ➩➫✧ Tn(t) ✭ Tn(t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at. ➟➠✭ÒÓ➐Ô✃ ❊❋❖❍✾✮✯■❏❑✲✳✧Õ✱ un(x, t) =  Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x (n = 1, 2, 3, · · ·). F ➍➎✧Õ✱➑➒➓➔→ F Ð ✵→Õ✱P❊❋❘❙❖❍✾✮✯■❘❙❏❑✲✳ F ✵Ö×Ø✭ ÙÚÛÜ✵→Õ✱Ý↕ÞÒßà❊❋✦✱❐❒ ➧✧áâ✲✳✭ã✵Ö➒äåÔ● ❉ Cn ■ Dn ✭❊❋ Dn sin nπ l x = φ(x), Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x). F ❖❍✾✮✯■❏❑✲✳P◗❘❙✧✭➨➣↔✧ (æçèéê) Õ✱ëìíØ ✭ îï◗❊❋❘❙ ✮✯■❘❙❏❑✲✳✧✱r ◗ð↕Þ❊❋áâ✲✳ ñ F ➨òó➒➓➔→Õ✱ëìíØ u(x, t) = X∞ n=1  Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x, ôõö❉÷➑ ❋øà✧ùúû (üý✭↕▲þÿ➏➈￾ ❖❍✁) ✭✂✄✭ ➍➎➐Ô✧ u(x, t) Ò îï ◗❘❙❖❍✾✮✯➡❘❙❏❑✲✳☎✧✱r ➍✆ ❂❃✧✱✝ ✜ ➮➱✖ r ➣Ý✞Ï❖❍✾✮✯✧✟✱✭➟✜ ✵Ö✱Ýô ◗❊❋❖❍✾✮✯✭✠✡❊❋❘❙❏❑✲✳ ☛⑥☞✌❧✍❵ ❢❲ ✎✏ ✑❨ Cn ✒ Dn ñ X∞ n=1 Dn sin nπ l x = φ(x), (z) X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x) (>) ✴✓✶✷ ✔✕➁➂➆➇✖✗✘✙✕ ➴➷✚➇ ✛✜✢✣ ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m