第十五讲分离变量法 第3页 在()式两端同乘以 sIn -T,逐项积分,就得到 mTT Dn SIn-L D 所以 同样,由(米)式,可以得到 v(a) 这样就求得了整个定解问题的解, ★本征函数正交性的证明 设Xx()=如和xm()=smx是分别对应于本征值入和入m的两个本征函数 λn≠Mmn(即n≠m),它们分别满足 Xn(r)+An Xn(a)=0, 和xm(x)+mXm(x)=0, Xn(0)=0,Xn(l)=0, 用Xm(x)乘以Xn(x)的方程,用Xn(x)乘以Xm(x)的方程,相减, (Xm(a)Xn(a)-Xn(r)Xm(r))+(An-Am)Xm(a)Xn(a)=0, 在区间[0.上积分,即得 (n-Mn)/xn(x)Xn(a)dx=/[xn(x)Xm(x)-xm(x)Xn(x)]dz [Xn(=)X m()-Xm(a)X'(a)IL=0 上面用到了Xn(x)和Xm(x)满足的边界条件,考虑到An≠Mm,就证得本征函数的正交性 0,n≠m.口 △在上面的证明中只用到了: 1.本征函数满足的微分方程2.本征函数满足的边界条件 没有用到本征函数的具体函数形式 △因此,只要本征函数满足的微分方程为 X"(x)+X(x)=0 则结果 )/Xn(x)Xm(x)dr=[Xn(x)Xmn(x)-Xm(x)Xn(x) 仍然成立Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 3 ➪ ➡ (z) ❃✣✤✞✮▲ sin mπ l x ✭þÿ✯✾✭Ó➐Ô Z l 0 φ(x) sin mπ l xdx = Z l 0 X∞ n=1 Dn sin nπ l x sin mπ l xdx = X∞ n=1 Dn Z l 0 sin nπ l x sin mπ l xdx = Dm · l 2 . ✰ ▲ Dn = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx. ✞ ➎ ✭✪ (>) ❃✭↕▲➐Ô Cn = 2 nπa Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ➍➎Ó ➏➐✃➜→ ✦✱❐❒✧✱r F ➁➂➆➇✗✘✙✖✱✲ ✳ Xn(x) = sin nπ l x ■ Xm(x) = sin mπ l x ◗✾✴❰ ➫ Ï ➊➋➌ λn ■ λm ✧✣→➊➋❈❉✭ λn 6= λm(ã n 6= m) r ➣↔✾✴❊❋ X00 n (x) + λnXn(x) = 0, Xn(0) = 0, Xn(l) = 0, ■ X00 m(x) + λmXm(x) = 0, Xm(0) = 0, Xm(l) = 0. ➙ Xm(x) ✮▲ Xn(x) ✧✮✯✭➙ Xn(x) ✮▲ Xm(x) ✧✮✯✭➩✵ ✭ (Xm(x)X00 n (x) − Xn(x)X00 m(x)) + (λn − λm) Xm(x)Xn(x) = 0, ➡✶✷ [0, l] ➢✯✾✭ã➐ (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = Z l 0 [Xn(x)X 00 m(x) − Xm(x)X 00 n(x)] dx = [Xn(x)X0 m(x) − Xm(x)X0 n(x)]    l 0 = 0. ➢➤➙Ô ✃ Xn(x) ■ Xm(x) ❊❋✧❏❑✲✳r✙✚Ô λn 6= λm ✭Ó✸ ➐ ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m. 4 ➡➢➤✧✸ ✹➧ ô ➙ Ô ✃ ✷ 1. ➊➋❈❉❊❋✧❍✾✮✯ 2. ➊➋❈❉❊❋✧❏❑✲✳ ✺➑ ➙ Ô➊➋❈❉✧÷✻❈❉❂❃ 4 ➟➠✭ ✼✽➁➂➆➇✾✿✖❀✸❁❂❃ X 00(x) + λX(x) = 0, ❄ ➥➦ (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = [Xn(x)X 0 m(x) − Xm(x)X 0 n(x)]    l 0 îï❅❆r