习 题101 1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 (1)Sn(x)=c (1)x∈(0,1) (i)x∈(l,+∞) (2)S(x)=xe x∈(0,+∞) 3)S,(x)=sin (1)x∈(-∞,+∞) (i)x∈[-A,A](A>0); (4)S,(x)=arctan nx (1)x∈(0,1) (i)x∈(1,+∞) G)s(x)=x2+1 x∈(-∞,+∞); (6)S(x)=nx(1-x) (7) S,(x)=-In (1)x∈(0,1), (i)x∈(1,+∞)); (8)Sn(x)= (1)x∈(0,1), l)x∈(1,+∞ (9)Sn(x)=(sin x) x∈[0,x]; () Sn(x)=(sin x) (i)x∈[0,1],(i)x∈[6,丌-8](>0); 0)S(x)=|1+ (1)x∈(-∞,+∞),(i)x∈[-A,4](A>0); (2)Sn(x) +-√x,()x∈(0+∞),(i)x∈[6,+∞)6>0 2.设S(x)=m(x-x2n),则函数序列{S(x)}在[,]上收敛但不一致收敛,且极限运算与 积分运算不能交换,即 lim S, (x)dx* limS(r)dx 3.设S(x 1+n2x 则 (1)函数序列{Sx)}在(-∞,+∞)上一致收敛 (2)S(x)}在(-+)上不一致收敛 (3)极限运算与求导运算不能交换,即 并不对一切x∈(-∞,+∞)成立。 4.设S(x)=- arctan x,则函数序列{S(x)}在(0,+∞)上一致收敛;试问极限运算与求 导运算能否交换,即 limS月(x) Iim Sn(x) 是否成立? 5.设S(x)=n“xe,其中a是参数。求a的取值范围,使得函数序列{S(x)}在[0,1上 (1)一致收敛习 题 10.1 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 ⑴ Sn(x) = , (i) x −nx e ∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) ； ⑵ Sn(x) = x , x −nx e ∈ (0,+∞) ； ⑶ Sn(x) = sin n x , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑷ Sn(x) = arctan nx, (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑸ Sn(x) = 2 2 1 n x + , x∈ (−∞,+∞) ； ⑹ Sn(x) = nx(1 - x) n , x∈ [0,1]； ⑺ Sn(x) = n x ln n x , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞))； ⑻ Sn(x) = n n x x 1+ , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) ； ⑼ Sn(x) = (sin x) n , x∈ [0,π ]； ⑽ Sn(x) = (sin x) n 1 , (i) x∈ [0,1]， (ii) x∈ [δ ,π − δ ]（δ > 0）； ⑾ Sn(x) = n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1+ , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑿ Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 , (i) x∈ (0,+∞) , (ii) x ∈[δ ,+∞), δ > 0。 2. 设Sn(x) = n(x n - n x 2 )，则函数序列{S (x)}在 上收敛但不一致收敛，且极限运算与 积分运算不能交换，即 n [0,1] n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx ≠ ∫ →∞ 1 0 lim n Sn(x) dx。 3. 设Sn(x) = 2 2 1 n x x + ，则 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛； ⑵ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛； ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 并不对一切 x∈ (−∞,+∞) 成立。 4. 设Sn(x) = n 1 arctan x n ，则函数序列{Sn(x)}在(0,+∞) 上一致收敛；试问极限运算与求 导运算能否交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 是否成立? 5. 设Sn(x) = ，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列{S a nx n xe − n(x)}在[0,1]上 ⑴ 一致收敛； 1