(2)积分运算与极限运算可以交换,即 lim ls, (x)dr=5 lim Sm(x)dx (3)求导运算与极限运算可以交换,即对一切x∈[0,1]成立 lim Sm(x) n→dx 6.设S'(x)在区间(a,b)上连续, Sn(x)=nS x+--S(x) 证明:{S(x)}在(a,b)内闭一致收敛于S'(x) 7.设S0(x)在[Oa]上连续,令 Sm(x)=s,(odt, 证明:{S(x)}在[0,a]上一致收敛于0。 8.设S(x)在[0,1上连续,且S(1)=0。证明:{x"S(x)}在0,1上一致收敛。 习 题10.2 1.讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性 (1)∑(1-x)x (2)∑(1-x)x, x∈0,1 。,0 [ (x∈D.+∞),(i)x∈{,+∞)(6>0) x∈(-∞,+∞) sIn nx x∈(-∞,+∞) nan+x' x∈[0,l x∈(-,+∞); (9)2"sin (x∈(0,+∞),(i)x∈[6+∞)(8>0 Inx sin nx x∈(-∞,+∞); (+x2) x∈(-∞,+∞);⑵ 积分运算与极限运算可以交换，即 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx = S ∫ →∞ 1 0 lim n n(x) dx； ⑶ 求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x∈[0,1]成立 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 。 6. 设 S '(x)在区间(a,b)上连续， Sn(x) = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ( ) 1 S x n n S x ， 证明：{Sn(x)}在(a,b)内闭一致收敛于S '(x)。 7. 设 S0 (x) 在[0, a]上连续，令 Sn(x) = ∫ − d t， n = 。 x n S t 0 1 ( ) 1,2," 证明：{Sn(x)}在[0, a]上一致收敛于 0。 8. 设S(x)在[0,1]上连续，且S(1) = 0。证明：{x n S(x)}在[0,1]上一致收敛。 习 题 10.2 1. 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 ⑴ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − 0 (1 ) n n x x ⑵ ∑ ， ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x x∈[0, 1]； ⑶ ∑ ， x∈ ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞)； ⑷ ∑ ， (i) x∈ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞)， (ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑸ ∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑹ ∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑺ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x ⑻ ∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x ， x∈(-∞, +∞)； ⑼ ∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x ， (i) x∈(0, +∞)，(ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑽ ∑ ∞ =1 sin sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑾ ∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x ， x∈(-∞, +∞)； 2