教学内容 线性方程 阶线性微分方程的标准形式: +P(x)y=o(x) 当Q(x)=0,上方程称为齐次的 当Q(x)=0,上方程称为非齐次的 a-+ xsnt+t2线性的 yy3-2xy=3,y-cosy=1,非线性的 阶线性微分方程的解法 1.线性齐次方程+P(x)y=0(使用分离变量法) P(x)dx P(x)do In P(x)dx+In C 齐次方程的通解为y=Ce」PxM 2.线性非齐次方程+P(x)y=Q(x) 讨论=|9x-P 两边积分M-900-JPxM 设∫h为x),:计=vx)-∫Px) 即y=ee-x)非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比:C→(x) 常数变易法:把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 新未知函数u(x)→原未知函数y(x) 22 教 学 内 容 一、线性方程 一阶线性微分方程的标准形式: P(x) y Q(x) dx dy + = 当Q(x)  0, 上方程称为齐次的. 当Q(x)  0, 上方程称为非齐次的. 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + 线性的; yy  − 2xy = 3, y  − cos y =1, 非线性的. 一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 + P(x) y = 0. dx dy (使用分离变量法) P(x)dx, y dy = − ( ) ,   = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + ln C,  齐次方程的通解为 . ( )  = − P x dx y Ce 2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy        = − 两边积分 ( ) , ( ) ln   = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设  为 ln ( ) ( ) ,   y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: C  u(x) 常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数u(x)原未知函数 y(x)