作变换y=l(x)e 」Px)k u(x)e ∫P u(x[p(x)le P(x)dr 将和代入原方程得u(x)-w=a(x 积分得x)=」(x 一阶线性非齐次微分方程的通解为 P(x)dx y=lo(be dx+ cle ∫P(x)h C Ce parda 对应齐次方程通解 ∫ax P(x)dr d非齐次方程特解 例1求方程y+y=Smx的通解 sin x 解P(x)=-,Q(x) sinx∫ exdx+Cl=e、tn/rsnx (sin xdx+c)=fcos x+C) 例2如图所示,平行与y轴的动直线被曲线y=f(x)与y=x3(x≥0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线f(x 解「f(x)dx=yx2-y)2,「yd dx=x-y, 两边求导得y+y=3x2 解此微分方程 小(C+∫3xer 由yl=0,得C=-6 所求曲线为y=3(-2e-+x2-2x+2)3 作变换  = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( )  + −   =  − P x dx P x dx y u x e u x P x e 将y和y 代入原方程得 ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx =   − 积分得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x dx +  =  一阶线性非齐次微分方程的通解为:  +  = −  P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x dx P x dx P x dx    +  =  − ( ) − ( ) ( ) ( )  − P x dx Ce ( ) 对应齐次方程通解 e Q x e d P x dx P x dx     − ( ) ( ) ( ) 非齐次方程特解 例 1 . 1 sin 求方程 的通解 x x y x y  + = 解 , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x =         +    =  − e dx C x x y e dx x dx x 1 1 sin       =  +  − e dx C x x e ln x sin ln x ( )  = xdx+C x sin 1 ( cos ). 1 x C x = − + 例 2 如图所示 ， 平 行与 y 轴 的 动 直 线 被曲 线 y = f (x) 与 ( 0) 3 y = x x  截下的线段 PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f (x) . 解 ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x = −   = − x ydx x y 0 3 , 两边求导得 3 , 2 y + y = x 解此微分方程        +  =  − y e C x e dx dx dx 2 3 3 6 6, 2 = + − + − Ce x x x | 0, 由 y x=0= 得 C = −6, 所求曲线为 3( 2 2 2). 2 = − + − + − y e x x x