伯努利方程 伯努利( Bernoul)方程的标准形式+P(x)y=Q(x)y”(n≠0,1) n=0.时,方程为线性微分方程 出n≠0.时,方程为非线性微分方程 解法:需经过变量代换化为线性微分方程 两端除以y,得y+P(x)y=Qx 则=(1-n)y dz 代入上式+(1-n)P(x)2=(1-n)Q(x) 求出通解后,将z=y代入即得 =)(x1-n (1-n)P(x)d dx+C) 例3求方程-4y=x√的通解 解两端除以y,得 dy 4 d 解得z=x2+C即y=x+C 2 例4用适当的变量代换解下列微分方程 2yy+2xy=xe 解y+xy=xey 令:=y+)=y2,则在=2y d x dx 所求通解为y2=e(+C dh n(xy)x4 二、伯努利方程 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 n P x y Q x y dx dy + ( ) = ( ) (n  0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n  0,1时， 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 两端除以y n，得 ( ) ( ), 1 P x y Q x dx dy y n n + = − − , 1 n z y − 令 = 则 ， dx dy n y dx dz −n = (1− ) 代入上式 (1 n)P(x)z (1 n)Q(x), dx dz + − = − 求出通解后，将 n z y − = 1 代入即得 ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1  +  −   = = − − − − y z e Q x n e dx C n P x dx n P x dx n 例 3 . 求方程 4 y x 2 y 的通解 dx x dy − = 解 两端除以y n，得 , 1 4 2 y x dx x dy y − = 令 z = y , , 4 2 2 z x dx x dz − = , 2 2       = +C x 解得 z x . 2 2 4       = +C x 即 y x 例 4 用适当的变量代换解下列微分方程: 1. 2 2 ; 2 2 x yy xy xe − + = 解 , 2 1 1 2 − − y  + xy = xe y x , 1 ( 1) 2 z = y = y 令 − − 2 , dx dy y dx dz 则 = 2 , 2 x xz xe dx dz −  + = [ ] 2 2 2 z e xe e dx C xdx x xdx +   =  − − 所求通解为 ). 2 ( 2 2 2 C x y e x = + − ; sin ( ) 1 2. 2 x y dx x xy dy = −