10.设 as A 1a2 a2 其中a≠a,1≤i≠j≤s.若B=AA是正定阵,求s的值 11.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x2+(1-a)2+2n3+2(1+a)x1x2的秩为2 (2)求正交替换X=QY,把f(x1,x2,x3)化成标准形; (3)求方程f( 12.设A是n阶反对称矩阵求证A必合同于dag{S,…,S.0,…,0},其中S=(01 且若r(A)=2r,则有r个S 11.实反对称矩阵的行列式总是非负实数 3.设A=(a1)是R上n阶正定阵求证:二次型 a1 a21a22 是负定二次型 B 是实对称阵,其中a11<0,B是n-1阶正定阵.求证: (1)B-a1i1aa是正定矩阵 (2)A的符号差为n-2 )A A=(a4,a3)称为基a1,a2,…,an的度量矩阵 1)在取定n维欧氏空间V的一个基的前提下,内积与度量矩阵互相唯一确定; (2)度量矩阵是实对称阵; (3)n维欧氏空间V的不同基下的度量矩阵是合同的; (4)当基a1,a2,……,an是正交基时,度量矩阵是对角阵;当基a1,a2,……,an是标准正交基时,度 量矩阵是单位阵E.10.  A =   1 1 · · · 1 a1 a2 · · · as a 2 1 a 2 2 · · · a 2 s · · · · · · · · · · · · a n−1 1 a n−1 2 · · · a n−1 s   , uS ai 6= aj , 1 ≤ i 6= j ≤ s. B = AT A K I￾y s O
11. 7M'+ f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2 R 2. (1) y a O (2) yKLB X = QY ,  f(x1, x2, x3) AÆ V, (3) y+ f(x1, x2, x3) = 0 R
12.  A  n O)$ VI
yL A >? diag{S, . . . , S, 0, . . . , 0}, uS S =  0 1 −1 0  x r(A) = 2r, E> r 4 S. 11. )$ VI-b X,0
13.  A = (aij )  R  n OK I
yL'+ g(x1, x2, · · · , xn) =            a11 a12 · · · a1n x1 a21 a22 · · · a2n x2 . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann xn x1 x2 · · · xn 0            0 '+
14.  A =  a11 α T α B  $ I￾uS a11 < 0, B  n − 1 OK I
yL (1) B − a −1 11 ααT K VI (2) A /; n − 2. 15. z s\J64D α1, α2, · · · , αn, $ α = Pn i=1 xiαi , β = Pn i=1 yiαi , > (α, β) = ￾ x1, x2, · · · , xn
A   y1 y2 · · · yn   , A = ((αi , αj ))i,j D α1, α2, · · · , αn "`VI
(1) Dz n s\J V 64Dw$￾qE"`VI(6} (2) "`VI$ I (3) n s\J V D$"`VI> (4) D α1, α2, · · · , αn KLD￾"`VI$MID α1, α2, · · · , αn  VKLD￾" `VI!I E. 6