是正定矩阵 4.(1)设A,B为n阶正定阵,则A+B是正定阵,ABA也是正定阵 (2)设A为正定阵,c>0,则cA为正定阵; (3)A正定,则A-1,A正定 5.A正定,则A中绝对值最大元必在主对角线上 6.设A是n阶正定阵,求证|A+E>0. 复习题 1.证明:实二次型 f(x1,n2,…,xn)=∑(nx1+b2x2+ i=1 的秩等于下面矩阵B的秩 1 2.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是或者二次型的秩等于1 或者二次型的秩等于2且符号差为0. 3.设A是n阶正定阵,在R中,定义 证明(-,-)是一个内积,从而定义了一个欧氏空间 4.实对称阵A是正定的充分必要条件是A的所有主子式大于零 5.设A是R上n阶对称阵,则下列条件等价: (1)A正定; (4)存在单位上三角阵B,使A=BDB,其中D是正定对角阵 (5)存在正对角元的上三角阵C,使得A=CC 6.设A∈RmXn.求证对于任意的t>0∈R,tE+AA是正定矩阵 7.设对称阵A=(a1)∈Rnx是正定的,证明存在正定阵B,使得A=B2 8.设A是R上n阶对称阵.则下列叙述是等价的 (1)A为半定阵; (2)对任意a>0,aE+A正定; (3)存在秩为r的n阶实矩阵B,r<n,使A=BTB (4)A的所有主子式≥0 9.A,B为正定阵,且AB=BA,则AB正定K VI
4. (1)  A, B  n OK I￾E A + B K I￾ ABA 5K I (2)  A K I￾ c > 0, E cA K I (3) A K ￾E A−1 , A∗ K
5. A K ￾E A SW$O[BDT$M'
6.  A  n OK I￾yL |A + E| > 0. bpn 1. Lm'+ f(x1, x2, · · · , xn) = X k i=1 (bi1x1 + bi2x2 + · · · + binxn) 2 R?$lVI B R
B =   b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n · · · · · · · · · bk1 bk2 · · · bkn   2. 64'+[-R_4#6v%) NE-4KCG'+R? 1, CG'+R? 2 x/; 0. 3.  A  n OK I￾D R n S￾ ; (X, Y ) = XT AY, Lm (−, −) 64qE￾& ;a64s\J
4. $ I A K -4K A >TW ?
5.  A  R  n O$ I￾E$bKI (1) A K (4) D!MI B, A = BT DB, uS D K $MI (5) DK$MBMI C,  A = C T C. 6.  A ∈ R m×n. yL$?: t > 0 ∈ R, tE + AT A K VI
7. $ I A = (aij ) ∈ R n×n K ￾LmDK I B,  A = B2 . 8.  A  R  n O$ I
E$b0ÆI
(1) A  I (2) $: a > 0, aE + A K (3) DR r  n OVI B, r < n, A = BT B; (4) A >TW ≥ 0. 9. A, B K I￾x AB = BA, E AB K
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