sIn x 3!5! 6180 利用例9,我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 Sinx 两边取对数,再分别将ln(1 nx)展开成幂级数, sinx n Ju n JC 将上式与本例中的结果相比较,它们的x2系数,x系数都对应相等,于是就得到 等式 如果我们在计算时更精细些,也就是将n的幂级数展开计算到x5,x3 还可以获得∑n,∑n,“的精确值。 注意点 1.如果f(x)在x。邻域的幂级数展开存在,则幂级数必然是它在xo的 Taylor 级数(*);但反之则不然。事实上,我们举出过在x=x0任意阶可导的函 数f(x),它在x的 Taylor级数并不收敛于f(x)。但一般来说,对于有解析 表达式的初等函数f(x),只要它在x=x。任意阶可导,则它在x0的 Taylor 级数就是它在x0邻域的幂级数展开。 2.要让学生知道,遇到求函数的幂级数展开问题,不要首先想到用(*)式。 事实上,上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法,比起直接利用公式(*) 来都要方便,而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法 3.一般来说,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们往往只 能求出幂级数的初始几项,而不易求出幂级数的一般项,也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题,只要求出幂级数的初始几项就够了, 例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径,等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定ln x sin x = ( − + −" 3! 5! 2 4 x x ) - 2 1 ( − + −" 3! 5! 2 4 x x ) 2 + … = − − −" 6 180 2 4 x x 。 利用例 9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 x sin x = ∏ ∞ = π − 1 2 2 2 (1 ) n n x , 两边取对数，再分别将 ln (1 ) 2 2 2 π − n x 展开成幂级数， ln x sin x = ∑ ∞ = π − 1 2 2 2 ln(1 ) n n x = - ∑ ∞ = + π + 1 π 4 4 4 2 2 2 ) 2 1 ( n n x n x " 。 将上式与本例中的结果相比较，它们的x 2 系数，x 4 系数都对应相等，于是就得到 等式 ∑ ∞ =1 2 1 n n = 6 2 π , ∑ ∞ =1 4 1 n n = 90 4 π 。 如果我们在计算时更精细些，也就是将ln x sin x 的幂级数展开计算到x 6 ，x 8 ，…， 还可以获得∑ ∞ =1 6 1 n n ，∑ ∞ =1 8 1 n n ，…的精确值。 注意点 1． 如果 f (x) 在 邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x 0 x 0 的Taylor 级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在 0 x = x 任意阶可导的函 数 ，它在 的Taylor级数并不收敛于 。但一般来说，对于有解析 表达式的初等函数 ，只要它在 f (x) 0 x f (x) f (x) 0 x = x 任意阶可导，则它在 的Taylor 级数就是它在 邻域的幂级数展开。 0 x 0 x 2． 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。 事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*） 来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法。 3． 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只 能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了， 例如例 9 中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定。 6