对于例7,我们还可采用如下的“代入法”求解:在 中,以 +…代入,可得到 4! 1+x2+ 然后求sinx与—的 Cauchy乘积,同样得到上述关于tanx的幂级数展开 需要向学生指出的是,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们目 前无法得到它的收敛范围,而只能知道在x=x0的小邻域中,幂级数展开是成立 的(事实上,tanx的幂级数展开的收敛范围是(-,),它的证明需要用到复 变函数的知识) “代入法”经常用于复合函数,例如形如e(,ln(1+f(x)等函数的求幂级数展 开问题 例8求f(x)=emx在x=0的幂级数展开(到x) 解以u=smx=∑()x2m1=x-x+…代入 6 f(x)=emx=∑ s山=1+sinx+sinx+sin3x+,Sinx+…, 即可得到 f(x)=emx=1+x+x2--x4+…,x∈(-∞,+∞) 注对于求函数f(x)=ex在x=0的幂级数展开问题,我们不能采用以 n=csx=1-1x2+1.x-…代入(x)=∑03x的方法,请学生思考为什 么,并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例9求h的幂级数展开(到x4),其中函数应理解为 SInx f(x) ≠0 x 0 解首先,利用sinx的幂级数展开,可以得到 sIn x 令 代入In(1+u)=u 23-…,即得对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在 1− u 1 = ∑ = 1 + u + u ∞ n=0 n u 2 + … 中，以 u = − +" 2! 4! 2 4 x x 代入，可得到 cos x 1 = 1 + ( − +" 2! 4! 2 4 x x ) + ( − +" 2! 4! 2 4 x x ) 2 + … = 1 + x 2 + 24 5 x 4 + …， 然后求 sin x 与 cos x 1 的 Cauchy 乘积，同样得到上述关于 tan x 的幂级数展开。 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x = 的小邻域中，幂级数展开是成立 的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (- 0 x 2 π , 2 π )，它的证明需要用到复 变函数的知识）。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x) ，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 例 8 求 在 的幂级数展开( 到x x f x esin ( ) = x = 0 4 ) 解 以 = − +" + − = = + ∞ = ∑(2 1)! 6 ( 1) sin 3 2 1 0 x x x n u x n n n 代入 = = ∑ = + + + + +" ∞ = x x x x n x f x e n n x 2 3 4 0 sin sin 24 1 sin 6 1 sin 2 1 1 sin ! sin ( ) ， 即可得到 , ( , ) 8 1 2 1 ( ) 1 sin 2 4 f x = e = + x + x − x + x ∈ −∞ +∞ x " 。 注 对于求函数 f (x) = ecos x 在 x = 0 的幂级数展开问题，我们不能采用以 = = − 2 + 4 −" 24 1 2 1 u cos x 1 x x 代入 ∑ ∞ = = 0 ! cos ( ) n n n x f x 的方法，请学生思考为什 么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例 9 求ln x sin x 的幂级数展开( 到x 4 )，其中函数 x sin x 应理解为 f (x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1 0. , 0, sin x x x x ， 解 首先，利用 sin x 的幂级数展开，可以得到 x sin x = − + −" 3! 5! 1 2 4 x x 。 令 u = − + −" 3! 5! 2 4 x x 代入 ln (1 + u) = u - + −" 2 3 2 3 u u ，即得 5