收敛半径为R2,则(x)g(x)的幂级数展开就是它们的 Cauchy乘积: f(x)(x)=(∑anx")∑bx")=∑cnx 其中 abnk,∑cnx”的收敛半径R≥min{R,R2} 当b≠0时,我们可以通过待定系数法求∫x)的幂级数展开:设 g(x) g(x) (∑bx")(∑cnx)=∑ 分离x的各次幂的系数,可依次得到 Co -a b bo C1+ bico a-b,co b bo C2+ bcit hc b,c-b,Co 直继续下去,可求得所有的cn。 例6求 e sin x的幂级数展开(到x3) 解 e sin x=(1+x+x+x+x+…)(x-x+x =x+x2+-X ", 由于e与sinx的收敛半径都是R=∞,所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞,+∝ 都成立 例7求tanx的幂级数展开(到x3) 解由于tanx是奇函数,我们可以令 sIn x =CIx+C3x++ cOS x 于是 (cx+c3x2+csx+…)(1 2!4 比较等式两端x,x3与x5的系数,就可得到 3 15 因此 tanx=x+-x+ 4.“代入法”收敛半径为R2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： f (x)g(x) = (∑ )( ) = , ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ n=0 n n c x 其中cn = ∑ , 的收敛半径 = − n k k n k a b 0 ∑ ∞ n=0 n n c x R ≥ min｛R1，R2｝。 当b0 ≠ 0 时，我们可以通过待定系数法求 ( ) ( ) g x f x 的幂级数展开：设 ( ) ( ) g x f x = ∑ , ∞ n=0 n n c x 则 (∑ ) ( )= , ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ n=0 n n c x ∑ ∞ n=0 n n a x 分离 x 的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0 ⇒ c0 = 0 0 b a , b0 c1 + b1 c0 = a1 ⇒ c1 = 0 1 1 0 b a − b c ， b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2 ⇒ c2 = 0 2 1 1 2 0 b a − b c − b c ， …… 一直继续下去，可求得所有的cn 。 例 6 求e x sin x的幂级数展开( 到x 5 )。 解 e x sin x = ( 2! 3! 4! 1 2 3 4 x x x + x + + + + …)( − + −" 3! 5! 3 5 x x x ) = x + 2 3 5 30 1 3 1 x + x − x + …， 由于e x 与sin x 的收敛半径都是 R = ∞ ，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞, + ∞) 都成立。 例 7 求tan x的幂级数展开( 到x 5 )。 解 由于 tan x 是奇函数，我们可以令 tan x = x x cos sin = c1 x + c3 x 3 + c5 x 5 + …， 于是 (c1 x + c3 x 3 + c5 x 5 + …)( − + −" 2! 4! 1 2 4 x x ) = − + −" 3! 5! 3 5 x x x ， 比较等式两端x, x 3 与x 5 的系数，就可得到 c1 = 1, c3 = 3 1 , c5 = 15 2 , 因此 tan x = x + 3 1 x 3 + 15 2 x 5 + …。 4． “代入法” 4